遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課(10)-資料下載頁(yè)
2024-10-18 21:00本頁(yè)面
【正文】 到 . 1L ?? cos?x ?? s in2?y? 0 ?2所以 ???????1 22 22 44 LL yxxdyy dxyxxdyy dx???????????? ? 2 0 2222 )c o s( s i n21d【 例 7】 計(jì)算曲線積分 , 其中 ? ????Lyy dyexdxxeI 222 )1()1(為 在第一象限沿逆時(shí)針?lè)较虻陌雸A弧 . L 4)2( 22 ??? yx解：記 , . 則由于 , yxeP 21 ?? 122 ?? yexQxQxeyP y?????? 22? ???? 1 222 )1()1(L yy dyexdxxe.12)1(0 4 ???? ? dxx分析 本題若直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算是比較繁的。我們可以 先看 以決定是否用格林公式或其他的方法計(jì)算。 ,yPxQ?????則所給積分與路徑無(wú)關(guān)?，F(xiàn)取 , 從 變到 。 0 :1 ?yL 4 0x? ???? L yy dyexdxxeI 222 )1()1(則有 七、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的物理應(yīng)用 求變力沿曲線所作的功： . ?? ???? ??ABABQ d yP d xrdFW 【 例 8】 設(shè)位于點(diǎn) 的質(zhì)點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力大小為 )1 ,0(2rkA M（ 為常數(shù) , 為質(zhì)點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn) 之間的距離 ), 質(zhì)點(diǎn) 0?k A Mr M22 xxy ?? 沿曲線自 運(yùn)動(dòng)到 .求在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程 )0 ,2(B )0 ,0(O分析 設(shè)質(zhì)點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力 . A M ??? ?? jyxQiyxPF ) ,() ,(因此，問(wèn)題的關(guān)鍵是寫(xiě)出引力 的表達(dá)式 . ?F中質(zhì)點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力所作的功 . MA? ?? BO dyyxQdxyxPW ) ,() ,(則所求的功為 解： 作圖如右圖所示，可知 },1 ,{}1 ,0{ yxyxMA ??????.)1(|| 22 yxMAr ????引力 的方向與 一致 , ?F MA故 , 于是 }1 ,{32 yxrkrMArkF ??????? ???? BO dyyxdxrkW 3 ])1([ ? ?????? )0,0( )0,2 ( 232222])1([])1([21yxyxdk)0,0()0,2(2122 ])1()[2(21 ???????? yxk ).511( ?? kxyO)1,0(A)0,2(B) , ( y x M 分析 由于場(chǎng)力沿路徑所作的功為 , ? ???L y d ykxdxkW 33 ??所以證明場(chǎng)力所作的功與所取的路徑無(wú)關(guān)的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上就是證明上述曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的問(wèn)題。 證明：場(chǎng)力沿路徑所作的功為 , ? ???L y d ykx d xkW 33 ??【 例 9】 設(shè)在半平面 內(nèi)有力 構(gòu)成力場(chǎng) , 0?x)(3 ??? ??? jyixkF ?其中 為常數(shù)， , 證明在此力場(chǎng)中場(chǎng)力所作的功 22 yx ???與所取的路徑無(wú)關(guān)。 k令 , 。 則 233 )( yxkxxkP?????? 233 )( yxkyykQ?????? .)(2325 yPyxk xyxQ????????由于右半平面為單連通區(qū)域，且 , 所以場(chǎng)力所作的功 yPxQ?????與所取的路徑無(wú)關(guān)。
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