遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課(1)-資料下載頁(yè)
2024-10-18 21:00本頁(yè)面
【正文】 xab dtF x f t d t ft? ? ?????12 ( ) 2()fx fx??即有 ( ) 2 .Fx? ?1( ) 0( ) ( )abbadtF a d tf t f t? ? ? ???0)()( ?? ? ba dttfbF由零點(diǎn)定理知方程 在 內(nèi)至少有一根。 0)( ?xF ? ?ba,又因?yàn)? , 在 上函數(shù) 單調(diào)增加，所以方程 在 至多有一根。 ( ) 2 0Fx? ?? ? ?ba, )(xF0)( ?xF ? ?ba,(2) 因?yàn)? 在 上連續(xù)，所以 在 上也連續(xù)．又有 ? ?ba,)(xF? ?ba,)(xf所以，方程 在 內(nèi)有且僅有一實(shí)根。 ? ?ba,0)( ?xF【 例 16】 設(shè) 1 s in , 0 .( ) ,20 , 0xxfxxx??? ???? ?? ??? 或分析：求分段函數(shù)的變上限積分的題型，其解法是：按與被 積函數(shù)相同的分段依次討論，計(jì)算中使用定積分的可加性。 所以，應(yīng)分段求 的表達(dá)式． )(xF當(dāng) 時(shí)， 0x?0( ) ( )xF x f t d t? ? ? ?? x dt0 00 求 在 內(nèi)的表達(dá)式． 0( ) ( )xF x f t d t? ? ? ????? ,解：在 的定義域 中， 是分段函數(shù)， ? ????? , )(xf)(xF當(dāng) 時(shí)， ??? x00( ) ( )xF x f t d t? ?01 sin2x t dt? ?011c o s ( 1 c o s ) 。22xtx??? ? ? ????? 當(dāng) 時(shí)， ??x0( ) ( )xF x f t d t? ?0 ( ) ( )xf t d t f t d t??????01 sin 0 12xt d t d t??? ? ???于是 0 , 01( ) ( 1 c os ) , 021,xF x x xx??????? ? ? ??????【 例 17】 求反常積分 21ln x dxx???解： 211ln 1ln ( )x dx xdxx? ? ? ?????21111ln x d xxx?? ????? ? ????? ?1ln 1limxxxx??? ????? ? ?????10 l i m 1 1x x? ? ?? ? ? ?【 例 18】 求積分 ??20 21 xdx分析：被積函數(shù) 在積分區(qū)間 上不是連續(xù)的， 211x? ? ?2,0牛頓 — 萊布尼茲公式失效．這是一個(gè)反常積分。 1?x該積分的瑕點(diǎn)。 解： 2 1 22 2 20 0 11 1 1dx dx dxx x x??? ? ?? ? ?因?yàn)? ? ?10 21 xdx ????????? ???? 01011lnxx故該積分發(fā)散． 注：由于定積分與瑕積分的表達(dá)式?jīng)]有區(qū)別，在計(jì)算積分時(shí) 要特別注意。 222001ln ln 3 .11d x xxx?? ??????? ???錯(cuò)誤在于將反常積分誤認(rèn)為定積分。 在應(yīng)用牛頓 — 萊布尼茲公式計(jì)算定積分時(shí)，必須注意其使用條件，即被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)必須連續(xù)． 常見的錯(cuò)誤做法：
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