遼寧工業(yè)大學高數習題課(8)-資料下載頁
2024-10-17 02:04本頁面
【正文】 【 例 9】 * 判別級數 的斂散性。 1ln( 1 ) nnnn????分析：本題中， 為交錯級數，可采用萊布 11lnnnnnan???????尼茲定理判別法。 解：先考慮級數 的斂散性。 11lnnnnnan???????由于當 時， 3n? ln 1 ,nnann??而級數 發(fā)散，故級數 發(fā)散， 31n n???33lnnnnnan???????即原級數為交錯級數，故應用萊布尼茲判別法判別。 lnl i m l i m 0nnnnun? ? ? ???2ln 1 ln( ) ( ) 0xxfxxx???? ? ?從而原級數條件收斂。 注：在運用萊布尼玆定理判別 時，可引入函數， 利用函數的導數，判別單調性。 1nnuu? ?因為 ,其中 ln( 1 ) ( 1 )nnnnnaun? ? ? ?lnnnun?所以 在 內單調遞減，得 ()fx [1, )?? 1nnuu??于是由萊布尼茲判別法可得級數 收斂， 3ln( 1 ) nnnn????ln() xfxx?令 證明：設級數 和 的部分和分別為 和 ])1[(11??????nnn naan ???1nna n? nS則 1 2 2 3 11( 2 ) ( 3 2 ) [ ( 1 ) ]2n n nnna a a a n a naS na? ??? ? ? ? ? ? ? ???【 例 10】 若 , 級數 收斂 , 證明 0lim ??? nn na ])1[(11??????nnn naan級數 收斂 . ???1nna沒有具體表達式，只能將 看成任意項級數 , 所以，考慮級數收斂定義。 ???1nna分析：因為題設給出了級數 收斂 , 但 ])1[(11??????nnn naan ???1nna即 11 []2n n nS n a? ???由于級數 收斂 , 所以 存在 , 所以要 ])1[(11??????nnn naan lim nn ???1 1 1l i m l i m ( 1 ) l i m 0n n nn n nn a n a a? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?根據級數收斂的定義知 收斂 . ???1nna證明 存在，只需要證明 存在即可 . 根據題中 1lim nn na ???lim nn S??的條件 ，所以 ，因此 1l i m ( 1 ) 0nn na ??? ??0lim ??? nn n
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