【正文】 的斂散性。 ( 1 )lnnna nn???解：此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)? , 而 發(fā)散 , 11lnn n n?? 11n n???原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂 . ?因?yàn)? 為交錯(cuò)級(jí)數(shù) , 由萊布尼玆定理 1( 1 )lnnn nn?????由比較審斂法知 發(fā)散 11( 1 ) 1ln lnnnnn n n n????? ?????1( ) 1 0 ( 1 )f x xx? ? ? ? ?111 ( 1 )l n ( 1 ) l n ( 1 )nnu u nn n n n ?? ? ? ? ?? ? ? ?所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂 。 na 2 ( 1 ) 33nn nna???同理 極限也不存在，即不能應(yīng)用比值和根值判別法， lim nnn a??,由于 1[ 2 ( 1 ) ]33nnnnnnnab???? ? ?解法 1：設(shè) [ 2 ( 1 ) ] ( 1 , 2, )3nn nnan????而由比值法 11113lim lim 133nnxxnnnbnb??? ? ? ??? ? ?易知級(jí)數(shù) 收斂 , 111 3n nnnnb????????故由級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù) 收斂。 解題方法流程圖如下圖所示。 【 例 1】 判別級(jí)數(shù) 的收斂性，并求級(jí)數(shù)的和。 123nnn???111 2 1 1l i m l i m l i m 12 2 2nnnn n nnv nnv n n??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?1 2nnn??? ?收斂，故由比較審斂法，原級(jí)數(shù)收斂。 1ln( 1 ) nnnn????分析：本題中， 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可采用萊布 11lnnnnnan???????尼茲定理判別法。 n【 例 8】 判斷級(jí)數(shù) 收斂？如果收斂，是條件收斂 還是絕對(duì)收斂？ 1( 1 )lnnn nn?????分析：本題中， 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可采用萊布尼茲 定理判別法。 1lim nn naa???[ 2 ( 1 ) ] 3nn nna ???分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè) 1[ 2 ( 1 ) ] [ 2 1 ] = 3 3 3nnnn n nn n nab?? ? ?? ? ?而級(jí)數(shù) 收斂，從而級(jí)數(shù) 收斂； 1nnb???1nna???或?qū)? 拆成兩個(gè)級(jí)數(shù)， 分別判定級(jí)數(shù)的收斂性。若此 二方法失效，則可利用比較法（或定義）作進(jìn)一步判別； 若不收斂，但級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可考慮應(yīng)用萊布尼茲判 別法，若能判別級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)條件收斂； 對(duì)于一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可考慮利用利用級(jí)數(shù)收斂定義、 性質(zhì)等判別。 1213nnn????分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于 12 1 3 1 13 3 3 3 3