【導讀】n，則下列命題正確的是．D．BAAB?的一個極大無關組可取為．。N均未知）的樣本，則是統計量．A.1x. ⒌A與A分別代表一個線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則．秩()A?s線性相關，則向量組內可被該向量組內其余向量線性表出．至少有一個向量。⒌某隨機試驗的成功率為)10(??pp,則在3次重復試驗中至少失敗1次的概率為。，且，則參數與分別是．A.6,為連續(xù)型隨機變量的密度函數，則對任意的，矩陣，當C為矩陣時，乘積BCA??

　　

【正文】 :設 A =“ 2 球恰好同色”， B =“ 2 球中至少有 1 紅球” 5210 13)( 252223 ?????C CCAP 10910 36)( 25231213 ????C CCCBP 3. 加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是 2%，如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%，求加工出來的零件是正品的概率． 解： 設 ?iA “第 i 道工序出正品”（ i=1,2） ))(()|()()( 12121 ????? AAPAPAAP 4. 市場 供應的熱水瓶中，甲廠產品占 50%，乙廠產品占 30%，丙廠產品占 20%，甲、乙、丙廠產品的合格率分別為 90%,85%,80%，求買到一個熱水瓶是合格品的概率． 解： 設 1 產品由甲廠生產?A 2 產品由乙廠生產?A 3 產品由丙廠生產?A 產品合格?B )|()()|()()|()()( 332211 ABPAPABPAPABPAPBP ??? ??????? 5. 某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止．已知他 每發(fā)命中的概率是 ，求所需設計次數 29 的概率分布． 解： PXP ?? )1( PPXP )1()2( ??? PPXP 2)1()3( ??? ???? PPkXP k 1)1()( ???? ???? 故 X 的概率分布是 ?????? ??????? ???? ? ppppppp k k 12 )1()1()1( 321 的概率分布為 試求 ． 解： )4()3()2()1()0()4( ????????????????? XPXPXPXPXPXP )5()4()3()2()52( ??????????????? XPXPXPXPXP )3(1)3( ??????? XPXP 具有概率密度 30 試求 ． 解：412)()21( 210221021 ????? ???? xx d xdxxfXP 16152)()241( 1412141241 ?????? ?? xx d xdxxfXP 8. 設 ，求 ． 解：32322)()( 10310 ????? ?????? xx d xxdxxxfXE 21422)()( 10410 222 ????? ?? ???? xx d xxdxxfxXE 181)32(21)]([)()( 222 ????? xEXEXD 9. 設 ),1(~ 2NX ，計算⑴ ；⑵ ． 解： )(2)()() ()( ??????????????????? XPXP )(1) 1()0( ?????????? XPXP 是獨立同分布的隨機變量，已知 ，設 ，求 ． 解： )]()()([1)(1)1()(21211 nnni i XEXEXEnXXXEnXnEXE ????????????? ?? ???? nn1 )]()()([1)(1)1()( 2122121 nnni i XDXDXDnXXXDnXnDXD ????????????? ?? 222 11 ?? nnn ??? 31 1．設對總體 得到一個容量為 10 的樣本值 , , , , , , , , , 試分別計算樣本均值 和樣本方差 ． 解： 101101 10 1 ???? ??i ixx 91)(110 1 210 12 ?????? ??i i xxs 2．設總體 的概率密度函數為 試分別用矩估計 法和最大似然估計法估計參數 ． 解：提示教材第 214 頁例 3 矩估計： ,121)1()( 110 ?? ???????? ni ixnxdxxxXE ??? ?xx??? 1 12?? 最大似然估計： ?? ??? )()1()1()。,( 21121 nninin xxxxxxxL ?? ? ???? ? 0ln1ln,ln)1ln (ln 11 ??????? ?? ?? ni ini i xnd LdxnL ???? ， 1ln?1??? ??ni ixn? 3．測兩點之間的直線距離 5 次，測得距離的值為（單位： m）： 32 測量值可以認為是服從正態(tài)分布 的，求 與 的估計值．并在⑴；⑵ 未知的情況下，分別求 的置信度為 的置信區(qū)間． 解： 11051? 51 ??? ??i ixx? )(15 1? 5 122 ????? ??i i xxs? （ 1）當 時，由 1－ α ＝ ， 97 )( ???? ?? 查表得： ?? 故所求置信區(qū)間為： ] 1 1, 0 8[],[ ???nxnx ???? （ 2）當 2? 未知時，用 2s 替代 2? ，查 t (4, ) ，得 ?? 故所求置信區(qū)間為： ],[],[ ???nsxnsx ?? 4．設某產品的性能指標服從正態(tài)分布 ，從歷史資料已知 ，抽查 10 個樣品，求得均值為 17，取顯著性水平 ，問原假設 是否成立． 解： 3|10/4 2017||/||| 0 ??????? nxU ? ?， 由 97 )( ???? ?? ，查表得： ?? 因為 || ?U ，所以拒絕 0H 5．某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為 ，現換了新材料，從產品中隨機抽取 8 個樣品，測得的長度為（單位： cm）： , , , , , , , 33 問用新材料做的零件平均長度是否起了變化（ ）． 解： 由已知條件可求得： ?x ?s 13 6 |8/ 2020 2 ||/||| 0 ?????? nsxT ? ),9(),1( ???? tnt? ∵ | T | ∴ 接受 H0 即用新材料做的零件平均長度沒有變化。 2. 當 取何值時，線性方程組 ?????????????????2532342243214321421?xxxxxxxxxxx 有解，在有解的情況下求方程組的全部解． 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 由此可知當 時，方程組無解。當 時，方程組有解。 ??? 8 分 此時相應齊次方程組的一般解為 （ 43,xx 是自由未知量） 34 分別令 及 ，得齊次方程組的一個基礎解系 令 ，得非齊次方程組的一個特解 由此得原方程組的全部解為 （其中 為任意常數） 4. 已知 某種零件重量 ),15(~ NX ，采用新技術后，取了 9 個樣品，測得 重量 （單位： kg）的平均值為 ，已知方差不變，問平均重量 是否仍為 15（ ）？ 解： 零假設 15:0 ??H ．由于已知 ?? ，故選取樣本函數 已知 ?x ，經計算得 ???， 1 ???? nx? ? 由 已知條件 ， 35 unx ????? ? 故接受零假設，即零件 平均重量 仍為 15． 1 已知 BAX? ，其中??????????????????????108532,1085753321BA ，求 X ． 解：利用初等行變換得 ???????????????????????????1055200132100013211001085010753001321 ?????????????????????????????121100255010364021121100013210001321 ????????????????121100255010146001 即 ?????????????????1212551461A 由矩陣乘法運算得 ???????????????????????????????????????? ?12823151381085321212551461 BAX ?????????????????????????2284212342272134321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的全部解． 解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ????????????????????????????????????0462003210010101113122842123412127211131 ????????????????????????????????0000002200010101113106600022000101011131 方程組的一般解為 36 （其中 為自由未知量） 令 =0，得到方程的一個特解 )0001(0 ??X . 方程組相應的齊次方程的一般解為 ?????????434241 5xxxxxx （其中 為自由未知量） 令 =1，得到方程的一個基礎解系 )1115(1 ???X . 于是，方程組的全部解為 10 kXXX ?? （其中 k 為任意常數） 3. 設 )2,3(~ 2NX ，求 )5( ?XP 和 )11( ??XP .（其中 ,)( ?? )1( ?? , 9 7 7 )2(,9 3 3 )( ???? ） 解：設 )1,0(~2 3 NXY ?? 8 4 )1()2 352 3()5( ???????? XPXP )2 322 32 30()20()11( ??????????? XPXPXP = )()()( ?????????? YP = 2 4 1 9 1 3 3 )()( ?????? 4. 某一批零件重量 ),(~ ?NX ，隨機抽取 4 個測得重量（單位：千克）為 , , , ，可否認為這批零件的平均重量為 15 千克 (已知 ?u )？ 37 解： 零假設 ．由于已知 ?2 ，故選取樣本函數 經計算得 ?x ， ???? nx? ? 已知 ， unx ????? ? 故接受零假設，即可以認為這批零件的 平均重量為 15 千克 四、證明題 1. 設 BA, 是 n 階矩陣， B 可逆，且 0?AB ，試證： 0?A ． 證明：在 0?AB 的兩端右乘 1?B ，得 11 0 ??? BABB 上式左端為 AAIABB ???1 右端為 00 1 ??B 故有 0?A 證畢 2. 設 , 是同階對稱矩陣，試證： BAAB? 也是對稱矩陣． 證明：因 BAABABBABAABBAABBAAB ???????????????? )()()( 故可知 BAAB? 是對稱矩陣． 證畢 3. 可逆的對稱矩陣的逆矩陣也 是對稱矩陣． 證明：設 A 可逆，且 AA?? 則 111 )()( ??? ???? AAA ，所以 1?A 也是對稱矩陣． 證畢 4. 設 321 , ??? 是線性無關的，證明 , 313221 , ?????? ??? 也線性無關 . 證明： 設有一組數 321 , kkk ，使得 0)()()( 313322211 ????