33b樣條曲線與曲面-資料下載頁
2025-09-21 10:32本頁面
【導(dǎo)讀】Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩。–Bezier曲線或曲面不能作局部修改；1972年，Gordon、Riesenfeld等人發(fā)展了。點的同時，克服了Bezier方法的弱點。如何理解B-樣條？基函數(shù)，即B樣條曲線。B樣條曲線的方程定義為：。–定義區(qū)間是什么？以k＝4，n=4為例。B樣條曲線類型的劃分。節(jié)點區(qū)間長度為常數(shù)。與均勻B樣條曲線的差別在于兩端節(jié)點具有重復(fù)度k，這樣的節(jié)點矢量定義了準(zhǔn)均勻的B樣條基。曲線的首末端點不再是控制多邊形的首末端點。并且Bezier曲線一整套簡單有效。的算法都可以原封不動地采用。義曲線的數(shù)據(jù)，控制頂點數(shù)及節(jié)點數(shù)。度≤k，內(nèi)節(jié)點重復(fù)度≤k-1）都可選取。P在r重節(jié)點處的連續(xù)階不低于k-1-r。則位于各凸包的并集之內(nèi)。在該平面內(nèi)的任意一條直線與P. B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。即在仿射變換下，的表達式具有形式不變性。–造型的靈活性。情況.對于四階（三次）B樣條曲線.
【正文】 是雙曲線弧， 時，上式是橢圓弧。 時，上式退化為一對直線段 P0P1和 P1P2， 時，上式退化為連接兩點 P0P2的直線段 ),1( ???sfC)1,0(?sfC0?sfC???sfC1P2P0P橢圓拋物線雙曲線 .36 圓 錐曲線的 NURBS表 示清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) NURBS曲線的修改 ? 常用的方法有修改權(quán)因子、控制點和反插節(jié)點。 ? 修改權(quán)因子 – 當(dāng)保持控制頂點和其它權(quán)因子不變，減少或增加某權(quán)因子時，曲線被推離或拉向相應(yīng)頂點。 N圖 3 . 1 . 37 修改權(quán)因子iPSBS*清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) ? 欲將曲線在該點 S拉向或推離控制頂點 Pi一個距離 d，以得到新點 S’，可由重新確定相應(yīng)的權(quán)因子 使之改變?yōu)? 來達到 ? 修改控制頂點 – 修改控制頂點的位置，曲線隨之變形。 i?*???????????? ))((1 ,*dSPtRdikii??清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) ? 基于幾何約束的形狀修改 – 問題的提法：求新的控制頂點，使曲線上的 點 S變到 T。 T S P(t) 清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) – 將曲線改寫為 其中 110 , ,)()( ??? ??? ? nknikii ttttRPtP???nikiikiikitNWtNWtR0,)()()(清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) – 約束優(yōu)化方法 假設(shè)控制頂點 改變，以滿足點約束。我們對以上每個點，給一個擾動量 ，并用約束優(yōu)化方法求之。 約束條件為 11 , ??? mlll PPP ?Tziyixii ),( ???? ? 111,0,1,10, )()()()()()()(~???????????????????????????nkmllikiinikiinmlikiimllikiiilikiittttRtRPtRPtRPtRPtP??清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) 令 由 Lagrange 函數(shù) 可得方程組 ?????1 2M i nmllii?? ?)(~1 2 smllii tPTL ??? ??????清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) ? 解方程組可得 ?????????????? ????1,1,),(2)(,1,mlllitRtRSTskiimlliskii????),()()(12, STtRtRmlljskjskii ??????? 1,1, ???? mllli ?清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) 當(dāng)只有一個控制頂點可動時，即為 此為 CAD主編 Piegl于 1989年提出的公式。 ? 該方法可推廣到其他幾何約束及曲面。 )(, ski tRST ???清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) ? 基于能量極小的方法 – 曲線 strain energy – 曲面 Thin plate energy ? ? ??????????????? 10232)( dtPPPdskpE ? ??? dtPpE 2)(,)2()( 222?? ??? d u d vPPPPE vvuvuu清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) 非均勻有理 B樣條（ NURBS）曲面 ? NURBS曲面的定義 ]1,0[,),()()()()(),(0 0,。,0 0,0 0,??? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?vuvuRPvNuNvNuNPvuPminjqjpiijqjminjpiijqjminjpiijij??? ?? ??mrnsqsprrsqjpiijqjpivNuNvNuNvuR0 0,,。,)()()()(),(??清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) ? 規(guī)定四角點處用正權(quán)因子，即 ，其余 。 ? NURBS曲面的性質(zhì) 與非有理 B樣條基函數(shù)相類似的性質(zhì)： – 局部支承性質(zhì) – 權(quán)性 0, 0000 ?mnnm ???? 0?ij?),(,。, vuR qjpi清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) – 可微性 . 在重復(fù)度為 r的 u節(jié)點處沿 u向是 pr1次連續(xù)可微，在重復(fù)度為 r的 v節(jié)點處沿 v向是 qr1次連續(xù)可微 – 極值 .若 p， q1，恒有一個極大值存在 – 是雙變量 B樣條基函數(shù)的推廣 清華大學(xué) 計算機圖形學(xué) 謝謝 !
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