【導(dǎo)讀】確度較高的近似公式的一種方法.的近似公式等.下面我們給出一種具體的組合方法.也稱為關(guān)于步長(zhǎng)h的外推公式.的計(jì)算次序,表中各列左邊黑體數(shù)字表示序號(hào).這時(shí),逼近的誤差為.為關(guān)于的冪次而不是關(guān)于h的冪次.間[a，b]分為1,2,4等分的結(jié)果列入表7-2.一般地,把區(qū)間[a,b]逐次分半k-1次,敘述方便起見,記,那么,

　　

【正文】 I f I f I p I p I p? ? ? ? ?( ) ( )n m nI p I f??( ) ( ) 0m n mI p I p?? 和 ,從而 因?yàn)? ,記 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]bmmaI f I p x f x p x d x?? ? ??11nkkA??? ?1( ) ( )k m kf x p x ???1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]nn m n k m k kkI p I f A p x f x?? ? ??11nkkA??? ?0 , 1 , 2 , ...,kA k n?? 故 即 1 1 111( ) ( ) 0 2nnn k kkkI f I f A A C? ? ? ???? ? ? ? ? ???l im ( ) ( ) .nn I f I f?? ?1()nbkakC x d x A???? ?? Gauss型求積公式的構(gòu)造與應(yīng)用 定理 Gauss型求積 公式的一種方法 .這種方法 ,當(dāng)給定了積分區(qū)間 [a,b]和權(quán)函數(shù) 以后 ,構(gòu)造 n個(gè)點(diǎn)的 Gauss型求 積公式 ,先求出區(qū)間 [a,b]上帶權(quán)函數(shù) 的 n次 正交多項(xiàng)式 ,然后用多項(xiàng)式求根的方法求出 的 n個(gè)根 ,從而獲得了求積節(jié)點(diǎn) 為了求得求積系數(shù) ,將 n個(gè)求積節(jié)點(diǎn) 代入方程組 (4)中的前 n個(gè)方程并加以求解 , 即解線性代數(shù)方程組 ()x?()x?()ngx()ngx1{}nkkx ? 1{}nkkx ?1{}nkkA ?1{}nkkx ? 求得求積系數(shù) ,完成 Gauss型求積公式的 構(gòu)造 . 表 75為 GaussLegendre求積公式的求積 系數(shù) 和求積節(jié)點(diǎn) 的一個(gè)表 .而表 76和表 77則分別是 GaussLegendre和 GaussHermit te求積公式的求積系數(shù) 和求積節(jié)點(diǎn) 的一 1{}nkkA ?1 2 01 1 2 2 11 1 2 2nnnm m mn n mA A AA x A x A xA x A x A x???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??kAkxkxkA個(gè)表 .有些數(shù)值分析的書籍還給出了 Gauss Chebyshev求積公式的求積節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù) . 表見 P366. 需要指出的是 ,不同求積公式的求積系數(shù)與 求積節(jié)點(diǎn) ,積分區(qū)間和權(quán)函數(shù)是不同的 .Gauss Lagendre求積公式的積分區(qū)間為 [1,1],權(quán)函數(shù) .而 GaussLegendre求積公式的積分 區(qū)間為 ,權(quán)函數(shù) .GaussHermitte 求積公式的積分區(qū)間為 ,權(quán)函數(shù) GaussChebyshev求積公式的積分區(qū)間為 [1,1] ( ) 1x? ?[0, )?? () xxe? ??2() xxe? ??( , )?? ??權(quán)函數(shù) 這里需要指出的另一點(diǎn)是 Gauss Chebyshev求積公式的求積系數(shù)是相同的 .例 如 ,n點(diǎn)的 GaussChebyshev求積公式 ,它的 n個(gè) 求積系數(shù) 都是 ,即 .而 n個(gè) 求積節(jié)點(diǎn)則為 正是因?yàn)?GaussChebyshev求積公式的 求積系數(shù)相同 ,所以在實(shí)際計(jì)算時(shí) ,乘法的次數(shù) 只需一次 ,節(jié)省了 n1次的乘法運(yùn)算 . 21()1x x? ? ?kAn? 12 nA A A n?? ? ? ?21c o s , 1 , 2 , .. . .2kkx k nn ????例 1 求 使求積公式 具有三次代數(shù)精確度 . 問題是構(gòu)造區(qū)間 [0,1]上帶權(quán)函數(shù) 的兩點(diǎn) Gauss型求積公式 . 解 方法 1 容易計(jì)算出當(dāng) 時(shí) 的積分值分別為 ,所求 公式具有 3次代數(shù)精確度 .故可得 為未知數(shù)的方程組為 1 2 1 2, , , ,A A x x11 1 2 20 ( ) ( ) ( ) ( , )x f x d x A f x A f x R x f? ? ??()xx? ?23( ) 1 , , ,f x x x x?10 ()x f x d x?2222,3 5 7 91 2 1 2, , , ,A A x x (1) (2) (3) (4) 又因?yàn)? 為 Gauss型求積公式的求積節(jié)點(diǎn) , 所以它們是區(qū)間 [0,1]上帶權(quán)函數(shù) 且 首項(xiàng)系數(shù)為 1的二次正交多項(xiàng)式 的兩個(gè)根 . 不妨記 ,為此 又因?yàn)? 必須滿足方程 (2)(3)(4),所以 121 1 2 2221 1 2 2331 1 2 22/32/52 / 72/9AAA x A xA x A xA x A x???????????? ???12,xx()xx? ?*2()gx*22 ()g x x px q? ? ?**2 1 2 2( ) ( ) 0g x g x??12,xx由 可得關(guān)于 p,q的方程組為 解此方程組得 **1 2 1 2 2 2**1 1 2 1 2 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( ) 0( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( ) ( ) 0q p A g x A g xq p A x g x A x g x? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???2 2 23 5 72 2 25 7 9qpqp?? ? ????? ? ? ???109521pq??????? ???將所求 p,q代入 ,求得其根為 再將所求 代入方程 (1)(2),聯(lián)立解得 為此 ,公式 為所求具有 3次代數(shù)精確度的求積公式 . *22 ()g x x px q? ? ?120 . 2 8 9 9 4 9 1 9 80 . 8 2 1 1 6 1 9 1 2xx??? ??12,xx10 ( ) 0 . 2 7 7 5 5 5 9 9 7 ( 0 . 2 8 9 9 4 9 1 9 8 )x f x d x f??120 . 2 7 7 5 5 5 9 9 70 . 3 8 9 1 1 0 6 6 9AA??? ?? 89 11 06 69 ( 21 16 19 12 ) ( , )f R x f?? 方法 2 求出區(qū)間 [0,1]上帶權(quán)函數(shù) 的二次正交多項(xiàng)式 ,并求出其根 ,獲 得求積節(jié)點(diǎn) .再求方程組 (12)前兩個(gè)方程組成 的方程組獲得求積系數(shù) . 由于 和 都是 的線性無(wú)關(guān)組 ,所以考慮由 求得 所需的正交多項(xiàng)式 .這種方法可以稱作將它們 正交化 . 記 ()xx? ?*2()gx12,xx12,AA***0 1 2{ ( ) , ( ) , ( ) }g x g x g x2{1, , }xx2 [0,1]P1 1 / 220( , ) ( ) ( ) , ( , )f g x f x g x d x f f f???令 所以 又令 這樣 即如此作出的 與 正交 ,也與 正交 . 由于 所以 這樣 , * * * *0 0 0 02( ) 1 , ( , ) 2 / 3 , 2 / 3g x g g g? ? ?*1 0 0( ) ( , ) ,g x x x e e??*00 *02() 3 .2()gxegx??*1 0 0 0 0 0 0( ( ) , ) ( ( , ) , ) ( , ) ( , ) 0g x e x x e e e x e x e? ? ? ? ?*1 ()gx0e0 ()gx10 03 2 3( , )2 5 2x e x x d x? ? ? ??**11 238( ) , ( )5 1 7 5g x x g x? ? ? 同理可令 并且容易驗(yàn)證 , 與 正交 .容易求得 所以 *11 *1 2() 1 7 5 3 1 7 58 5 8()gxexgx? ? ?* 2 2 22 1 1 0 0( ) ( , ) ( , ) .g x x x e e x e e? ? ?*2 ()gx 10,ee211 7 5 1 6( , )8 3 1 5xe ?? 2 0 32( , ) ,27xe ??*221 0 5()9 2 1g x x x? ? ?第二種方法與第一種方法求出的 是一樣 的 ,后面的求解過程相同 .這里略去 . 方法 2是一種將一組線性無(wú)關(guān)函數(shù)組 正交化而得到正交多項(xiàng)式 的方法 .高于 2次 的正交多項(xiàng)式用這樣的方法同樣可以得到 .這 樣求正交多項(xiàng)式在實(shí)際應(yīng)用時(shí)是方便的 . 這里需要附帶說明的是 ,GaussLegendre ,GaussChebyshev求積公式作數(shù)值求積精度 不夠時(shí) ,可以采取將積分區(qū)間 [a,b]若干等分后 , 將每一個(gè)子區(qū)間映射到區(qū)間 [1,1]上再用相同 *2()gx*2()gx2{1, , }xx節(jié)點(diǎn)數(shù)的求積公式進(jìn)行數(shù)值求積的計(jì)算 ,通常 會(huì)得到精度較好的計(jì)算結(jié)果 . Gauss型求積公式具有數(shù)值結(jié)果精度高 ,收 斂得以保證、計(jì)算簡(jiǎn)便、易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn) 等優(yōu)點(diǎn) ,并且在積分區(qū)間 [a,b]有限時(shí)便于推廣 到高維數(shù)值積分 .不足之處是公式的構(gòu)造比較 困難 ,另一個(gè)是由于相鄰次數(shù)的正交多項(xiàng)式的 根 ,從而造成增加求積節(jié)點(diǎn)以提高計(jì)算結(jié)果的 精度時(shí) ,原先所有求積節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值全部無(wú) 用 .所以在具體應(yīng)用 Gauss求積公式計(jì)算數(shù)值 積分時(shí) ,n取得都較小