【正文】 ? ? ? ?0,ij ii?? ????? ??? （ 2）解法方程組 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?0 0 0 01 1 1 1,,n n n nafafaf? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? 則有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?* 2, , ( 0 , 1 , 2 , , ),bjj aj bjj jaW x f x x dxfa j nW x x dx???? ?? ? ??????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?*00,. . , ( 0 , 1 , 2 , , ),nn jj j jjj jjfx a x x j n?? ? ?????? ? ??? （ 3）平方誤差 ? ? ? ?* 0 . , ( 0 , 1 , 2 , , )njjjx a x j n?????? ? ?? ?* , , ( 0 , 1 , 2 , , ), jj jjfa j n????? ? ? ? ?22 2 2* * * 22 2 22 00, , .nnj j j j jjjR f f a f f a? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 于是有 2 2* 22 .ff??? ij?ij?? ? ? ?*, , , ( 0 , 1 , 2 , , )j j j jf a j n? ? ??? 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 16 基于正交多項(xiàng)式求解最佳平方逼近的實(shí)例 正交多項(xiàng)式的必要性 逼近的目的在于用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)近似復(fù)雜函數(shù) ,而最簡(jiǎn)單的函數(shù)就是多項(xiàng)式 ,它既便于計(jì)算 ,又便于積分 .因此 ,取 nH?? 作為我們的逼近子空間 . 例 求函數(shù) ()f x x? 在 [0,1]上的最佳平方逼 近多項(xiàng)式 01()x a a x? ??. 解 取 01( ) 1, ( )x x x????.由于權(quán)函數(shù) ( ) 1Wx? ,因此 101( , ) 1ijij x x d x ij?? ?? ??? ， , 0,1,ij? 11 202 ,3( , )2 ,5ii f x x dx??????????? 于是得法方程組 010112,231 1 2 .2 3 5aaaa? ?????? ???? 解法方程組得解0144,.15 5aa??則計(jì)算得出 ()f x x? 在 [0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為 44( ) .15 5xx? ?? 假如取 ? ?? ?0nj jx? ?為冪函數(shù)系 ? ?0 , ( ) 1 , [ , ] [ 0 , 1 ]nj jx W x a b? ??,則 101( , ) 1i j i jx x x x d x ij?? ??? , 0, , , ,i j n? 10( , ) ( ) 0 , 1 , ,iix f x f x d x i n??? ， （ ） 法方程組 ()變?yōu)? 0,i?1,i? 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 17 101 0101 0101 011( ) ,211 1 1( ) ,2 3 21 1 1( ) .1 2 2 1nnnna a a f x dxna a a x f x dxna a a x f x dxn n n? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ????? （ ） 方程組 ()的系數(shù)矩陣是 1n? 階 Hilbert 矩陣： 1111211 1 12 3 21 1 11 2 2 1nnH nn n n????????? ???? ? ??? （ ） 當(dāng) n 較大時(shí) , 1nH? 是高度病態(tài)的 ,求解這種方程組 ,由于計(jì)算過(guò)程中舍入誤差的影響很大 ,得到的近似解的精確度很差 ,求解的過(guò)程也十分的困難 ,工作量十分的大 . 所以選擇合適的函數(shù)系是相當(dāng)重要的 ,而正交函數(shù)系正好能解決這一問(wèn)題 ,因?yàn)樗菍?duì)角方程組 ,極易求得這種方程組的解 .這時(shí)采用正交多項(xiàng)式為基底 ,就能保證解的穩(wěn)定性了 . 由例 可以看出正交多項(xiàng)式在最佳平方逼近中的重要性 ,可以使得計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)便 ,計(jì)算結(jié)果更加精確 . 基于正交多項(xiàng)式求解最佳平方逼近函數(shù)實(shí)例 例 求 10xfe? 在 [1,1]上的三次最平佳方逼近多項(xiàng)式以及誤差 ,分別用Legendre 多項(xiàng)式組 ? ?? ?30i ix? ?和 Chebyshev 多項(xiàng)式組 ? ?? ?30i iTx?作為基函數(shù) . 解 1 在 [1,1]上 ,選取正交基為 Legendre 正交多項(xiàng)式組 ? ?? ?30i ix? ? 23111 , , ( 3 1 ) , ( 5 3 )22x x x x???????? 取權(quán)函數(shù) ( ) 1Wx? ,所以 2( , ) , ( 0 , 1 , 2 , 3 )21jj jj?? ??? 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 18 ? ?? ?? ?? ?101111212131311, 2, 3 1 7, 25 3 37, 5 2xxxxf e dx eef x e dxexf e dx eexxf e dx ee????????? ? ? ?? ? ??? ? ? ??? ? ? ????? 所以法方程為： 012322 3 .2527aaaa?????? ???? ?????? ????? ?????? ?????????? 解法方程組得： * * * *0 1 2 311 .7 52 , 11 .0 36 , 3. 57 8 , 0. 70 46 .a a a a? ? ? ? 則得到的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?* * * * * * * * *0 0 1 1 2 2 3 3x a x a x a x a x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?23111 1 . 7 5 2 1 1 . 0 3 6 3 . 5 7 8 3 1 0 . 7 0 4 6 5 322x x x x? ? ? ? ? ? ? ? .x x x? ? ? ? 平方誤差： ? ? ? ?33 122 * 2 2 * 2100, , 0 . 0 0 0 0 7 .xi i i i i iiiR f a e a? ? ? ????? ? ? ? ??? ? 最大誤差： * ( ) 0 .0 1 1 2 .xex???? ? ? 解 2 在 [1,1]上取 Chebyshev 多項(xiàng)式組 ? ?? ?30i iTx?作為基函數(shù) . ? ?231, , 2 1, 4 3x x x x?? 權(quán)函數(shù)21() 1Wx x? ? .記最佳平方 3 次逼近多項(xiàng)式為： * 0 0 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .T x a T x a T x a T x a T x? ? ? ? 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 19 121( ( ) , ( ) ) ( ) ( )2( ( ) , ( ) )1jjj jjf x T x f x T xa d xT x T xx? ??? ?? 0,1, 2, , ,jn? 經(jīng)計(jì)算得： 0 1 2 32 5 .3 2 1 1 1 .3 0 3 2 .7 1 4 0 .4 4 3 .a a a a? ? ? ?， ， ， 所以： * 2 3( ) 25. 321 11. 303 15 * ( 2 1 ) 43 * ( 4 3 )T x x x x x? ? ? ? ? ? 239. 94 6 9. 97 3 5. 43 0 1. 77 3 .x x x? ? ? ? 最大誤差： *m a x ( ) 0 .0 0 6 0 7 .xe T x? ? ? ? 例 求 xfe? 在 [0,1]上的二次最優(yōu)平方逼近多項(xiàng)式 (權(quán)取 1),并求平方誤差 . 解 1 取 20 1 2( ) 1 , ( ) , ( )x x x x x? ? ?? ? ?,由于全函數(shù) ( ) 1Wx? ,記所求的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式為 : * 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) .x a x a x a x? ? ? ?? ? ? 101( , ) 1ijij x x d x ij?? ?? ??? , 0,1,2ij? 101,( , ) 1,2ixief x e dxe??????????? 于是得法方程為： 01211123 1111 123421113 4 5aeaae?????? ? ? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ????? 解法方程得： 012aaa???????? 所以得到的二次最佳平方逼近函數(shù)為： *2( ) 129 9 511 4 391 7x x x? ? ? ? 解 2 先進(jìn) 行置換 ,令 12tx ?? ,則函數(shù) 12( ) [ 1,1 ]txf x e e C?? ? ? ?,故可用 Legendre 0i?1i?2i? 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 20 多項(xiàng)式作基函數(shù) ,為 20 1 2 1{ ( ) 1 , ( ) , ( ) ( 3 1 ) }2t t x t t? ? ?? ? ? ?.記所求的最佳平方逼近多項(xiàng)式為： * 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )t a t a t a t? ? ? ?? ? ? 取權(quán)函數(shù) ( ) 1Wx? ，所以 ? ?2, , ( 0 , 1 , 2 )21jj jj?? ??? ? ?? ?? ?1120 11121 112122 1, 2( 1 ), 2 631, 14 382tttf e dt ef te dt e