【導讀】到預期的最優(yōu)結果。該課題將采用基于MATLAB的多目標優(yōu)化方法。數(shù)學模型，以獲得最小的帶輪半徑、最少的皮帶根數(shù)和最短的中心距為目標。運用權重因子把多目標問題問題轉化成單目標問題。結果取得了良好的優(yōu)化效

　　

【正文】 =[ ? ? 22 . 5 0 . 9 2 6 4 . 45 0 0 0 . 1 7 . 5 40 . 9 2 6 4 7 . 5 4??? ? ???]N=130N 應使帶的實際初拉力 0 0 min()FF。 FP 壓軸力的最小值為 mi n 1) 0 mi n153( 2 ( s i n 2 4 1 3 0 s i n 1 0 0 922PF z F N N?? ? ? ? ? ?） 。 MATLAB的 V帶優(yōu)化設計 案例分析：設計帶式輸送機傳動裝置上的普通 V帶傳動。已知電動機的額定功率 P=4kw，轉速 n1=1440r/min，傳動比 i=3，采用 A 型 V 帶，每天工作不超過 10 小時。要求傳動結構緊湊（帶的根數(shù)盡量小，帶輪的直徑和中心距盡量?。? （ 1) 設計變量： V帶傳動的獨立設計變量是小帶輪直徑 dd1和帶的基準長度 Ld，即 X=[x1,x2]T=[dd1,Ld]T （ 2）目標函數(shù)包括三個分目標： ? 小帶輪直徑 minf1(x)=dd1=x1 ? 中心距 minf2(x)=a=a1+ 212aa? 其中 221112( 1 ) ( 1 )。4 8 8d d dL d i d iaa? ??? ? ? ? 帶的根數(shù)3 0 0 )m in ( ) ( A LKPf x z P P K K??? ?? 其中，工作情況系數(shù) Kα 和功率增量可由《機械設計》查表得出直接數(shù)值。 ① 工作情況系數(shù) ?? (根據(jù)工作機械是帶式輸送機，每天工作不超過 10 21 小時）； ② 功率增量 0 ?? （根據(jù) A 型 V帶，傳動比 i=3,轉速 n1=1440r/min)。 但是另外三 個量單根 V帶的額定功率 P0、包角系數(shù) Kα 、帶的長度系數(shù) KL需要進行曲線擬合。 ① 單根 V帶的額定功率 01( 0 .0 2 4 2 4 1 .1 1 2 8 7 9 ) ( )dP d k w??（根據(jù) A 型 V帶，轉速 n1=1440r/min 擬合為直線方程，相關系數(shù) r=，標準誤差 ? =）； 根據(jù)單根 V帶的額定功率 p0表，插值得到 n1=960r/min時，小帶輪直徑下的 p0值，再根據(jù) n1=960r/min，將 A型小帶輪的基準直徑與相應 p0值進行多項式一次擬合得到 p0值與小帶輪直徑 Dd1的一次函數(shù) 的 程序如下 ： 插值程序為 ， x=[400 700 800 950 1200 1450 1600 20xx 2400 2800]。 y1=[ ]。 y2=[ ]。 y3=[ ]。 y4=[ ]。 y5=[ ]。 y6=[ ]。 y7=[ ]。 y8=[ ]。 z1=interp1(x,y1,1440) z2=interp1(x,y2,1440) z3=interp1(x,y3,1440) z4=interp1(x,y4,1440) z5=interp1(x,y5,1440) z6=interp1(x,y6,1440) z7=interp1(x,y7,1440) z8=interp1(x,y8,1440) 擬合函數(shù)為 ， clear all x=[75 90 100 112 125 140 160 180]。 y=[ ]。 p=polyfit(x,y,1) ② 包角系數(shù) K a ??? ?（擬合為雙曲線方程，相關指數(shù)2 ? ,標準誤差 ? ? ）； 將包角系數(shù)擬合成關于包角的雙曲線函數(shù) 的 程序如下： m=[180 175 170 165 160 155 150 145 140 135 130 125 120]。 22 n=[ ] x=1./m。 y=1./n。 p=polyfit(x,y,1) ③ 帶的長度系數(shù) .2 0 6 3 9LdKL? （根據(jù) A 型 V帶，擬合為冪函數(shù)方程，相關系數(shù) r=，標準差 ?? ）； 將帶的長度系數(shù)擬合成冪函數(shù)方程 的 程序如下： x=[630 710 800 900 1000 1120 1250 1400 1600 1800 20xx 2240 2500 2800 3150 3550 4000]。 y=[ ]。 cftool （ 3） 約束條件 小帶輪的直徑不小于推薦的 A 型帶輪的最小直徑 min 100dd mm? ，即 1 m in 1 1( ) 1 0 0 0ddg x d d x? ? ? ? ? 帶速不超過最大帶速 max 25 /v m s? ，即 1 1 1 12 m a x( ) 2 5 06 0 0 0 0 6 0 0 0 0ddd n d ng x v??? ? ? ? ? 小帶輪包角大于 min 120? ? ，即 1 13 m in 1 m in ( 1 ) 2180 1 120 180 ( 1 )ddi xg aa? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ????? 中心距大于 ( 1)ddi? ,即 4 11( ) 0 . 7 ( 1 ) 2 . 8dg x d i a x a o? ? ? ? ? ? 因此，這是一個三個目標的的非線性優(yōu)化問題。 考慮到個分目標的量綱不同 —— 各分目標函數(shù)值的變化范圍為，小帶輪基準直徑 11 80 100df d m m?? ， 中心距 2 3 2 0 4 0 0f a m m?? 和帶的根數(shù) 3 14fz?? 23 —— 為使各分目標函數(shù)在數(shù)量級上到達統(tǒng)一平衡，按照各分目標函數(shù)值的容限確定各個分目標的權重： 221 222232100 80210400 320402412TTwwww?????? ? ???? ??????????? ? ?????? ? ?? ? ??????? ?? ?????? ?????? ?? ???????? 編寫程序 其實現(xiàn)的 MATLAB 程序 代碼如下： clear all。 p=3。 i=2。 n1=1440。 KA=。 x0=[100。1250]。 lb=[80。630]。 ub=[100。4000]。 goal=[75,280,2]。 w=[10^2,40^2,^2]。 [x,fval]=fgoalattain(@li5_18A,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,@li5_18B) Dd1=100。 Dd2=Dd1*i。 z=4。 Ld=1 v=pi*Dd1*n1/6e4。 a1=Ld/4pi*Dd1*(i+1)/8。 a2=Dd1^2*(i1)^2/8。 a=a1+sqrt(a1^2a2)。 alpha=180180*Dd1*(i1)/pi/a。 fprintf(1,39。小帶輪基準直徑 Dd1=%\n39。,Dd1) fprintf(1,39。大帶輪基準直徑 Dd1=%\n39。,Dd2) fprintf(1,39。V帶基準長度 Ld=%\n39。,Ld) 24 fprintf(1,39。傳動中心距 a=%\n39。,a) fprintf(1,39。小帶輪包角 alpha=%\n39。,alpha) fprintf(1,39。V帶根數(shù) z=%\n39。,z) q=。 v=pi*Dd1*n1/6e4。 kalp=alpha/(*alpha+)。 F0=500*KA*p*()/v/v+q*v^2。 Q=2*z*F0*sin(*alpha*pi/180)。 fprintf(1,39。180。帶速 v=%\n39。,v) fprintf(1,39。180。帶的初拉力 F0=%\n39。,F0) fprintf(1,39。180。帶的壓軸力 FQ=%\n39。,Q) 在運行程序中，調(diào)用了自定義的 MATLAB函數(shù)，代碼如下 ： 帶傳動多目標優(yōu)化設計的目標函數(shù)文件為： function f=li5_18A(x) p=4。 i=3。 KA=。 f(1)=x(1) a1=x(2)/4pi*x(1)*(i+1)/8。 a2=x(1)^2*(i1)^2/8。 a=a1+sqrt(a1^2a2)。 f(2)=a。 p0=*x(1)。 DPO=。 alpha=180180*x(1)*(i1)/pi/a。 Kalp=alpha/(*alpha+)。 KL=*x(2)^。 f(3)=KA*p/(p0+DPO)/Kalp/KL。 V帶傳動多目標優(yōu)化設計的 約束函數(shù)文件為： function[g,ceq]=li5_18B(x) i=3。 n1=1440。 g(1)=100x(1)。 g(2)=pi*x(1)*n1/6e425。 25 a1=x(2)/4pi*x(1)*(i+1)/8。 a2=x(1)^2*(i1)^2/8。 a=a1+sqrt(a1^2a2)。 g(3)=120180*(1x(1)*(i1)/a/pi)。 g(4)=*x(1)*(i+1)a。 ceq=[] 優(yōu)化程序的計算結果為 ： x = +03 * fval = 計算結果 小帶輪基準直徑 Dd1=100mm 大帶輪基準直徑 Dd1=300mm V帶基準長度 Ld=1250mm 傳動中心 距 a= 小帶輪包角 alpha= V帶根數(shù) z=4mm 帶速 v=帶的初拉力 F0= 帶的壓軸力 FQ= 26 兩種結果的比較 表 31 結果對比表 項目 常規(guī)算法 MATLAB 算法 相對減小率 η 小帶輪基準直徑 Dd1 100mm 100mm 0％ 大帶輪基準直徑 Dd2 315mm 300mm ％ V帶基準長度 Ld 1600mm 1250mm ％ 傳動中心距 a 462mm 294mm ％ 小帶輪包角 α 153176。 141176。 ≥ 90176。 滿足要求 V帶根數(shù) z 4 4 0％ 帶的初拉力 F0 130N 75N ％ 帶的壓軸力 FP 1009N 568N ％ 注：相對變化率 η = MATLAB???常 規(guī)常 規(guī)— ％（ N 為每一項對應數(shù)值） 對于各項數(shù)值的變化分析 小帶輪的直徑 Dd1沒有變化，因為兩種方法都是在滿足需求的基礎上盡量取最小值， 100mm 即為最小值；大帶輪直徑 Dd2 變化率不大，由《機械原理》可知 22ddd id? ，當小帶輪直徑確定以后大帶輪的直徑已基本確定，所以大帶 輪直徑變化不大合理； V帶基準長度 Ld和 傳動中心距 a減小率達到 ％和 ％，取得了良好的優(yōu)化效果，成功達到題目要求并實際節(jié)約了材料；小帶輪的包角，兩個包角數(shù)值都大于 90176。（《機械設計》公式 825），滿足了設計要求，有效地保障了傳動的效率；帶的根數(shù) Z 都為 4 根，雖然沒有達到優(yōu)化，但是在保證傳動的安全性和穩(wěn)定性下， 4 根帶輪數(shù)是合理，并且沒有超過常規(guī)方法的結果，也是能體現(xiàn)優(yōu)化效果的。 本章小結，通過對兩種方法計算結果的比較，我們發(fā)現(xiàn)利用 MATLAB 能夠優(yōu)化 V 帶傳動設計，能夠有效地 優(yōu)化了帶輪結構、節(jié)約了材料 達到降低成本的要求；在計算方面，常規(guī)方法是繁瑣的，需要大量的計算和查閱數(shù)據(jù)，在基于 27 MATLAB 的設計中也需要查閱數(shù)據(jù)和編寫程序，但是基于 MATLAB 的程序設計可以固定下來，解決更多相類似的優(yōu)化設計，在大量類似設計時可以減少很大的計算量。所以初步評定基于 MATLAB 的 V帶優(yōu)化設計是成功的。 28 第四章 總結與展望 本方法把 MATLAB語言方便的表達和數(shù)據(jù)處理功能融于優(yōu)化設計方法當中 ， 能根據(jù)帶傳動設計準則 ， 方便快捷的設計 ， 具有一定的工程價值 。 在本設計方法當中 ， 考慮帶輪結構緊湊時候 ， 同時要求中心距最優(yōu) ， 有效地運用了多目標優(yōu)化 。通過結果分析 ， 采用本方法設計可以發(fā)現(xiàn)中心距減小明顯 ， 機構更緊湊， 說明此優(yōu)化方法是有效的 ， 具有很好的使用價值 。 本方法除了用于普通 Ｖ 帶的設計 ， 還可以用于其他帶型的設計 ， 具有一定的推廣價值 ?？偨Y相對與其他方法優(yōu)點主要有三點： （ 1） 應用優(yōu)化工具箱進行機械優(yōu)化問題求解，不用編寫大量的優(yōu)化算法程序，大大減少了編程 工 作量，提高了設計效率。 （ 2） 對帶傳動的多 目 標優(yōu)化設 計 可以通過調(diào)整加權因 子 的大小，得到機構緊湊，成本低廉且滿足所有條件的最優(yōu)解。 （ 3）