小方差無偏估計umvue-資料下載頁
2025-05-15 08:48本頁面
【正文】 ?22221 ( )( , ) ( 2 )22xln p x ln ?? ? ???? ? ?222 2 4( , ) 1 ( )22ln p x x??? ? ???? ? ??2224622( , )()1 ( )2ln p x x ??? ?? ?? ? ?? 224 6 4 6 41 ( ) 1 1()2 2 2X V a r X??? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ? ?????4212()nn?? ??因此 : 解 : 由于 所以 σ2的 CR下界為 : 例 9.(接前例 )設 x1 ,….x n 取自正態(tài)分布總體 N(μ,σ2) , 若 μ未知，討論 σ2的無偏估計 是否為有效估計 . ? ?22211?1niiS x xn??? ? ?? ?2211 ()1niiS x xn???? ?由于 2221 ~ ( 1 )n Sn??? ? 其期望為 n1 , 方差為 2(n1） 所以 22? S? ?即 不是 σ2的有效估計，但為 σ2的 漸近有效估計 . ? ?4212nn?? ??? ? ? ?2242 22111V a r S nnn????? ? ? ???????,而 σ2的 CR下界為 注 1: 由 P308第四題知 其方差大于 CR下界 , 即有時 CR下界過小 . 22? S? ? 是 σ2的 UMVUE. 2:若 μ已知 , ? ?2 422121() 12~ ( ) , .ni niiixn V ar xnn? ??????? ??????????? ?211 n ii xn ?? ?? 此時 為 σ 2的有效估計 . 注 3對于 的 CR下界為 : 22()g? ? ??? ? ?2 2 2 242[ ( ) ] [ 1 /( 2 ) ]/ 2 2gnnn? ? ???? ??? 當已知 μ=0時 ,易證 σ的無偏估計為 21( / 2 ) 1?2 ( ( 1 ) / 2 )niinn xnn? ????? ?可證 , 這是 σ的 UMVUE,其方差大于 CR下界 .因此所有 σ的無偏估計的方差都大于其 CR下界 ,即 CR下界過小.(P307) 4. 最大似然估計的漸近正態(tài)性 ?n?1? ~ ( , )()nNnI???定理 (略 ) 在總體的分布滿足一定條件 (P307)的情況下 ,存在具有相合性和漸近正態(tài)性的最大似然估計 , 且 即 ,最大似然估計通常是漸近正態(tài)的 ,且其漸近方差有一個統(tǒng)一的形式并主要依賴于 Fisher信息量 . 例 10: 設 x1 ,….x n 為取自總體為正態(tài)分布 N(μ,σ2), (1)在 σ2已知時 ,求 μ的 MLE 的近似分布 . (2)若 μ已知，討論 σ2的 MLE 的漸近分布 . ? ? 211 niixn ????
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