【正文】 圓上 通過下面的正切變換， 將 S平面的 jΩ 軸壓縮到 S1平面的 jΩ 1軸上的 ???????TjTj?? ,Tsez 1?將正切變換 延拓到整個 S平面，得到 S平面到 S1平面的映射關系 TsTseeTTsthTs11112)2(2 1 ??????再將 S1平面按關系式 映射到 Z平面得到 z e s T? 111112?????zzTssTsTz???22 雙線性變換 或 雙線性變換的映射關系滿足 關于映射關系可行性的兩個條件 （ 1） S平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓上； （ 2）位于 S左半平面的極點應映射到 Z平面的單位圓內。 ????????jjtgTeeTs jj)2(2112 ???,?jez ?令11112?????zzTs帶入表達式 得： 說明 S平面的虛軸 映射成了 Z平面的單位圓 s j? ?? ?令 , 帶入表達式 sTsTz???22得： ???????jTjTz??)/2()/2(2222)/2()/2(?????????TTz顯然當 時， 1， ? ? 0zS平面的左半平面軸映射到了 Z平面的單位圓內，保證系統(tǒng)函數經映射后穩(wěn)定性不變 雙線性變換的頻率對應關系 模擬頻率與數字頻率是一種非線性的關系 )2(2 1TtgT ???模擬濾波器與數字濾波器的響應與對應的頻率關系上發(fā)生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點 雙線性變換法 除了不能用于線性相位濾波器設計外，仍然是應用最為廣泛的設計 IIR數字濾波器的方法。 在 ?上刻度為均勻的頻率點映射到 ?上時變成了非均勻的點，而且隨頻率增加越來越密 2．頻率預畸變 為了保證各邊界頻率點為預先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統(tǒng)函數之前必須按下式進行所謂頻率預畸變 雙線性變換的特點 a。 S平面的虛軸（ ）映射到 Z平面的單位圓上。 ?jb。穩(wěn)定的 AF，經雙線性變換后所得 DF也一定是穩(wěn)定的，這是 因為穩(wěn)定的 AF，其極點必全部位于 S的左半平面上，經雙線性變 換后，這些極點全部落在單位圓內。 c。其突出的優(yōu)點是避免了頻響的混疊失真。 變換關系近似于線性，隨著 的增加， 表現出嚴重 非線性 。因此， DF的幅頻響應 相對于 AF的幅頻響應會產生畸變。只有能容忍或補償 這種失真時，雙線性變換法才是實用的。 從 的關系曲線可以看出，在零頻附近， 與 之間的 )(?? f? ??? 設計方法 1。直接代入法 )1/()1( 11)()( ?? ???? ZZcsa SHZH 先將 AF的系統(tǒng)函數分解成級聯或并聯形式，然后在對每一個子 系統(tǒng)函數進行雙線性變換。 例如 ????????????????miSHZHZHZHZHZHSHSHSHSHZZcsaiimamaaa,...,2,1,)()()() ...()()()() ...()()()1/()1(212111并聯形式與上述類似 3。表格法 由于代入法 在應用時可能比較麻煩，因此如果能預先求出 AF 與 DF的系統(tǒng)函數之間的關系，設計問題則變成查表，簡單易行。 例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數字低通濾波器 設計參數：通帶數字截止率 ，通帶內最大衰減 阻帶數字截止率 ，阻帶內最小衰減 dBA p ?dBAs 15??? ?p?? ?s解 第一步 進行頻率預畸變求 sp ?? 、0 . 4 1 4 2 1 3 6t g 0 . 1 2 5)2( ???? ?? pp tg g 0. 27 5)2( ???? ?? ss tg第二步 計算巴特沃斯型數字低通濾波器的階數 2 . 6 5 8 6 9 9 7)/l g ()]110/()110l g [ (21)/l g ()/l g ( ?????????psAApspsN ??取 N=3 第三步 通過查表求得 3階巴特沃斯低通濾波器原型的系統(tǒng)函數 )1)(1(1)(2 ???? ssssH a第四步 求 3dB截止頻率 ，并反歸一化求得 c? H s H sa c( ) ( / )? ?pANcppjH22 10)/(11|)(| ???????解得： ，反歸一化求 得 0 . 5 8 8 1 4 8??c)3 4 5 91 8 8 14 )(5 8 8 14 (2 0 3 45 )/()(2 ?????? ssssHsH ca第五步 求得 H(z)代入雙線性變換公式，化簡后求得 1111)()(??????zzssHzH))(()1()(21131?????????zzzzzH11111)()(???????zzsacsHzH也可按下式將第三步與第四步可合并在一起進行，求出 H(z) 設計濾波器的幅度響應與相位響應 66 數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計 – 設計思想： 數字濾波器 技術指標 模擬濾波器 技術指標 轉為模擬 低通濾波器 技術指標 模擬低通 濾波器設計 轉換為所需的 模擬濾波器 數字濾波器 例 設計一個三階巴特沃斯型高通數字濾波器， 3dB數字截頻為 ，求濾波器的系統(tǒng)函數。 解 三階巴特沃斯型歸一化模擬低通原型的系統(tǒng)函數為 H pp p paL( ) ?? ? ?12 2 13 2頻率預畸變 / s )0. 32 49 ( r a d)t g ( 0. 12 ???? ?? cc tg得到數字高通濾波器的系統(tǒng)函數為 1111111 1221)()(??????????? ?????zzpzzpaL ppppHzHc321315 7 0 1 4 1 9 7 3 5 5 9 2 0 )1(?????????zzzz