高階導數(shù)與高階偏導數(shù)-資料下載頁
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【正文】 ??22 .()d y f x d x???所 以 結(jié)論 ：高階微分 不具有 形式不變性 . ( ) ( ) ( ( ) )y f x x g t y f g t? ? ?設(shè) ， ， 則 對 于 ， 有上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 25 例 1 2 設(shè) 2( ) s in , ( ) ,y f u u u x x?? ? ? ? 求 2 .dy 分析 若以 s inyu ? 求二階微分 , 然后代入 2 ,ux ? 則有 22( s in ) ( )d y u d u??? 2s in ( )u d u?? 22s in ( 2 )x x d x??2 2 24 s in 。x x d x? ?倘若先把 2ux? 代入 sin ,yu? 再求二階微分 , 可得 2 2 2s ind y d x? 2 2 2 2( 2 c o s 4 s in )x x x d x??2 2 2 22 4 s ins .2 c o x d x x x d x? ?由此可見， 上述兩種結(jié)果并不相等 . 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 26 一般來說，求復合函數(shù)的高階微分，以逐階求之為宜 . 解 c o s ,d y ud u?? ?2 c o sd y d u d u? ? ? ? ?c o s c o sd u d u u d d u??22s in c o s ,u d u u d u? ? ?因 2( ) ,u x x??? 于是 2,d u x d x? ? ? 22 2 24,du du x dx??? ?2 2 u d d u u d x d x??? ? ?故 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 27 2 2 2s in c o sd y u d u u d u? ? ?? ?2 2 2si n 4x x dx? ? ? ? ?22c os 2x dx??? ?2 2 2 24 si n 2 c os .x x x dx? ? ?注 上例的分析過程表明，求復合函數(shù)的高階微分， 也可先把中間變量消去后，再求高階導數(shù)可得． 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 28 高階偏導數(shù)的定義 。 高階導數(shù)的運算法則 (萊布尼茲公式 )。 n階導數(shù)的求法 。 (1) 直接法 。 (2) 間接法 . 高階微分不具有形式不變性 . 四、小結(jié) 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 29 思考題： 證明函數(shù) 滿足拉普拉斯 方程 2 2 22 2 2 0.u u uux y z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?證 22ux? ?? 31r? 43 xrrx????23513 ,xrr? ? ?上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 30 222 3 513 ,uyy r r? ? ? ??2 2 22 2 2u u ux y z? ? ???? ? ?222 3 513 ,uzz r r? ? ? ??225233 3 ( )xryzr??? ? ?2r?0.?利用對稱性 ,有 所以 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學數(shù)學與計算科學學院 31 作業(yè) 習題 P35 A 組 1 (1) 、 (3) 、 (5) ， 2 B 組 4
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