計(jì)算方法的一般概念-資料下載頁
2025-05-13 04:10本頁面
【正文】 ????????????????)( ** yr??絕對(duì)誤差 增長因子 相對(duì)誤差 增長因子 思考 : 試分析四則運(yùn)算、乘方和開方的誤差傳播規(guī)律 數(shù)據(jù)誤差影響的估計(jì) 數(shù)據(jù)誤差影響的估計(jì) ()y f x? xx d yxy y d xy???1 . 42 1 1 1 3 . 50 . 4yx? ? ? ? ?21 1 1 . 4 1 1 0 . 4 ( 1 1 . 4 )21yx?????五、數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則 例 7. ?? 101 dxexeI xnn計(jì)算定積分 0 , 1 , 2 , , 7n ?解 : nI ??101 xn dexe101 xn exe? ? ??101 dxexen xn11 ??? nnI,0I如果先計(jì)算 721 , III ?然后再計(jì)算,*00 II 的近似值為假設(shè)計(jì)算出 ??)( *0IE誤差為??)( *1*11 IEII 的誤差為的近似值則?2)( *2*22 ?IEII 的誤差為的近似值?!3)( *3*33 ?IEII 的誤差為的近似值???????!7)( *7*77 ?IEII 的誤差為的近似值 ?5040?誤差放大 5千倍 ! nII nn???11但如果利用遞推公式 ,7I先計(jì)算 !570 千分之一誤差的的誤差只有 II因此在計(jì)算公式選用及算法設(shè)計(jì)時(shí) ,應(yīng)注意以下原則 1. 四則運(yùn)算中的穩(wěn)定性問題 (1) 防止大數(shù)吃小數(shù) 這一類問題主要由計(jì)算機(jī)的位數(shù)引起 假如作一個(gè)有效數(shù)字為 4位的連加運(yùn)算 11 ??? nn nII公式nII nn???11公式誤差會(huì)放大 誤差不會(huì)放大 4 ?????1 2 3 4 ??, 4 吃了將小數(shù)大數(shù) ?而如果將小數(shù)放在前面計(jì)算 4 ?????1 2 3 4 ??在作連加時(shí) ,為防止大數(shù)吃小數(shù) ,應(yīng)從小到大進(jìn)行相加 , 如此 ,精度將得到適當(dāng)改善 .當(dāng)然也可采取別的方法 . (2) 作減法時(shí)應(yīng)避免相近數(shù)相減 兩個(gè)相近的數(shù)相減 ,會(huì)使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重?fù)p失 o s1 ? 5109 9 9 9 5 ???xco s1 ?2s in22 x?2 in2 2 5109 9 9 9 5 8 3 3 ???由于 在算法設(shè)計(jì)中 ,若可能出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減 ,則改變 計(jì)算公式 ,如使用三角變換、有理化等等 (3) 避免小數(shù)作除數(shù)和大數(shù)作乘數(shù) 由誤差傳播的估計(jì)式 )(yE 2112 ?? ???? xx21 xxy ??對(duì)于21xxy ?對(duì)于)(yE2221121 ?? ????xxx?|||| 21 xx 或 ?)( yE?|| 2x ?)( yE在算法設(shè)計(jì)時(shí) ,要避免這類算法在計(jì)算公式中出現(xiàn) 2. 提高算法效率問題 (1) 盡量減少運(yùn)算次數(shù) 2562 1 2 8643216842 222222222 ?????????8次乘法運(yùn)算而不是 255次 使用秦九韶算法 0111)( axaxaxaxp nnnn ???? ?? ?0121 )))((()( axaxaxaxaxp nnn ????? ?? ??對(duì)多項(xiàng)式 可大大減少計(jì)算量 (2) 盡量使用耗時(shí)少的運(yùn)算 都要節(jié)省運(yùn)算時(shí)間比比比如 ,2 2 xxxxxxxx ???(3) 充分利用存儲(chǔ)空間
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