【正文】 zs111 ???????根軌跡的幅值方程： 法則 1 根軌跡的起點 (Kg= 0)和終點 (Kg??) ：根軌跡起始于開環(huán)極點， 終止于開環(huán)零點。 法則 2 根軌跡的分支數(shù)和對稱性 ：系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù) m 和有限極點數(shù) n 中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的并且對稱于實軸。 71 *法則 3 根軌跡的漸近線 ：當開環(huán)傳函中 m n 時，有 n ? m 條根軌跡分支沿著與實軸交角為 ?a ，交點為 ?a 的一組漸近線趨于無窮遠處，且有： mnzpmiinjja ??????? 11?mnka ???? 2 (k = 0,1, … , n ?m ? 1) *法則 4 實軸上的根軌跡 ：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為 偶數(shù) ，則該區(qū)域必是根軌跡。 72 *法則 6 根軌跡的出射角與入射角 ： ???????????nxjjjxmiixp ppzpx,11)()(????????????njjxmxiiixz pzzzx1,1)()(????? ???nj jmi i pdzd 1111 法則 5 根軌跡分離點和會合點 ： 73 法則 7 根軌跡與虛軸交點 ：若根軌跡與虛軸相交，則交點上的坐標可按下述兩種方法求出： 方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 D(s) = 0中，令 s = jω，D(jω) = 0的解即是交點坐標。 方法二：由勞斯穩(wěn)定判據求出。 法則 8 閉環(huán)極點的和 ：若開環(huán)傳函分母階次 n比分子階次 m高 2次或 2次以上，即 n ? m ? 2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點之和等于其開環(huán)極點之和。 1）根的分量之和是一個與 Kg 無關的常數(shù)； 2）各分支要保持總和平衡，走向左右對稱。 74 例 410 設單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。 )4)(2()1()(????sssKsG g解 : 單位正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 0)4)(2( )1()(1)( ??? ???? ss sKsGsD g系統(tǒng)根軌跡需按 0176。 根軌跡的繪制法則繪制 。 1)4)(2( )1( ??? ?ss sK g即系統(tǒng)的根軌跡方程為 75 實軸上的根軌跡 ： [?4， ?2 ] [1， ∞ ] 分離點： 在 (?4， ?2)和 (1， ∞ )存在分離點。 114121????? ddd 312,1 ???d根軌跡與虛軸的交點： 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 s 2 + (6 ? Kg ) s + 8 ? Kg = 0 令 s = j?， 得 ( j? )2 + (6 ? Kg ) ( j? ) + 8 ? Kg = 0 分別令實部和虛部為零 ， 得 ?? 2 + 8 ? Kg = 0 6 ? Kg = 0 ? = ? ， Kg = 6 76 ? 0 j? 1 4 2 j1 1 ? )4)(2()1()(????sssKsG g當 Kg 6時，正反饋閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如果此系統(tǒng)為負反饋系統(tǒng)，則系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 77 參變量系統(tǒng)的根軌跡 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s) = GH(s , A) A為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可表示為 D(s)= 1 177。 G(s)H(s) = 1 177。 GH(s, A) = 0 可整理為 式中， GH?’(s)為系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)。此時根軌跡可以化為常規(guī)根軌跡或 0?根軌跡。 )()(1)(1sQsPAsHG ????78 例 411 已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制參數(shù) a從零變化到正無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。 )1()()()(2 ???ssassHsG 解 : 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s3 + s2 + + = 0 系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為 sssasHG)(123 ??????sssasHG)(23 ????把 a視為根跡增益，可繪制出 a 變化時系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。 79 ? 0 j? ? ?1 漸近線： σa= ?1/3 ?a= π/3， 5π/3， π。 根軌跡與虛軸的交點 : a =1 s = ?j/2 sssasHG)(23 ????a ?? a = 1 分離點： d1= ?1/6 , d2= ?1/2。 a?? 80 ( 1 )( ) ( )( 1 ) ( 2 )K TsG s H ss s s???? 例 412 已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中開環(huán)根跡增益 K可自行選定。試分析時間常數(shù) T對系統(tǒng)性能的影響。 解 : 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s (s +1 ) (s + 2 ) + K (1 + T s) = 0 或改寫為 s (s +1 ) (s + 2 ) + K + KT s = 0 系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 11( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )K TsG s H ss s s K? ? ? ?等效開環(huán)極點為 s (s +1 ) (s + 2 ) + K = 0的根，也就是當 T = 0，以 K為可變參數(shù)的閉環(huán)極點。 81 ? 0 j? K=6 ( ) K=20 ( + ) K=3 (+ ) K=20 3 K=6 K=3 ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )KG s H s s s s? ??82 11( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )K TsG s H ss s s K? ? ? ? ? 0 j? K=6 (T=0) K=20 (T=0) K=3 (T=0) K=20 K=6 K=3 3 漸近線： 有 2條漸近線 ? a = ? ?a = ? /2， 3? /2。 不論 K為何值，根軌跡的漸近線都是一樣的。 83 學習指導與小結 通過本章學習，應當做到： （ 1）掌握開環(huán)根軌跡增益 Kg變化時系統(tǒng)閉環(huán) 根軌跡的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會利用幅值方程求特定的 K值。 （ 2）了解閉環(huán)零、極點的分布和系統(tǒng)階躍響應的定性關系及系統(tǒng)根軌跡分析的基本思路。 （ 3）掌握 0176。 根軌跡、參變量根軌跡繪制的基本思路和方法。 本章主要介紹了根軌跡的基本概念、控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法以及根軌跡法在控制系統(tǒng)分析中的應用。 84 1)()(11 ????????njjmiigpszsK系統(tǒng)根軌跡的幅值方程為 gnjjmiiKpszs111 ???????系統(tǒng)根軌跡的幅角方程為 ? ?? ????????minjji kpszs1 1)12()()( ? 1）根軌跡的基本概念 根軌跡是當系統(tǒng)中某參數(shù)由 0~∞ 變化時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點在 s平面上移動的軌跡。 2）常規(guī)根軌跡方程 負反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形式為 85 3）繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則 根據系統(tǒng)的根軌跡方程式，按照繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則，即可由系統(tǒng)開環(huán)零極點的分布直接繪制出閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 4）控制系統(tǒng)的根軌跡分析 控制系統(tǒng)的根軌跡分析即應用閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計算系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 5）附加開環(huán)零極點對根軌跡的影響 根軌跡是根據開環(huán)零極點的分布繪制的，系統(tǒng)開環(huán)零極點的分布影響著根軌跡的形狀。通過附加零極點，可以改造系統(tǒng)根軌跡的形狀，使系統(tǒng)具有滿意的性能指標。