線代答案第五章-資料下載頁
2024-09-04 21:17本頁面
【導(dǎo)讀】試用施密特法把下列向量組正交化?解根據(jù)施密特正交化方法?解此矩陣的第一個(gè)行向量非單位向量,故不是正交陣?所以H是對(duì)稱矩陣?設(shè)A與B都是n階正交陣?證明AB也是正交陣?故A的特征值為???向量p1是對(duì)應(yīng)于特征。量p3和p4是對(duì)應(yīng)于特征值?所以AT與A的特征多項(xiàng)式相同?r是齊次方程組Ax?0的線性無關(guān)的特征向量?t是齊次方程組Bx?
【正文】 ???????? ???????? EA ? 得 A的特征值為 ?1??1? ?2?3? ?3??4?1? 當(dāng) ?1??1時(shí) ? 可得單位特征向量 T)21 ,21 ,21 ,21(1 ???p? 當(dāng) ?2?3時(shí) ? 可得單位特征向量 T)21 ,21 ,21 ,21(2 ???p? 當(dāng) ?3??4?1時(shí) ? 可得線性無關(guān)的單位特征向量 T)0 ,21 ,0 ,21(3 ?p ? T)21 ,0 ,21 ,0(4 ?p ? 于是有正交矩陣 T?( p1? p2? p3? p4)和正交變換 x?Ty? 使 f??y12?3y22?y32?y42? 28? 求一個(gè)正交變換把二次曲面的方程 3x2?5y2?5z2?4xy?4xz?10yz?1 化成標(biāo)準(zhǔn)方程 ? 解 二次型的矩陣為 ?????????? ???552 552223A ? 由 )11)(2(552 552223|| ??????? ?????? ??????? EA ? 得 A的特征值為 ?1?2? ?2?11? ?3?0? ? 對(duì)于 ?1?2? 解方程 (A?2E)x?0? 得特征向量 (4? ?1? 1)T? 單位化得 )23 1 ,23 1 ,23 4(1 ??p? 對(duì)于 ?2?11? 解方程 (A?11E)x?0? 得特征向量 (1? 2? ?2)T? 單位化得 )32 ,32 ,31(2 ??p? 對(duì)于 ?3?0? 解方程 Ax?0? 得特征向量 (0? 1? 1)T? 單位化得)21 ,21 ,0(3 ?p ? 于是有正交矩陣 P?(p1? p2? p3)? 使 P?1AP?diag(2? 11? 0)? 從而有正交變換 ???????????????????????????????????wvuzyx21322312132231031234? 使原二次方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程 2u2?11v2?1? 29? 明 ? 二次型 f?xTAx在 ||x||?1時(shí)的最大值為矩陣 A的最大特征值 . 證明 A為實(shí)對(duì)稱矩陣 ? 則有一正交矩陣 T? 使得 TAT?1?diag(?1? ?2? ? ? ?? ?n)?? 成立 ? 其中 ?1? ?2? ? ? ?? ?n為 A的特征值 ? 不妨設(shè) ?1最大 ? 作正交變換 y?Tx? 即 x?TTy? 注意到 T?1?TT? 有 f?xTAx?yTTATTy?yT?y??1y12??2y22? ? ? ? ??nyn2? 因?yàn)?y?Tx正交變換 ? 所以當(dāng) ||x||?1時(shí) ? 有 ||y||?||x||?1? 即 y12?y22? ? ? ? ?yn2?1? 因此 f ??1y12??2y22? ? ? ? ??nyn2??1? 又當(dāng) y1?1? y2?y3?? ? ??yn?0時(shí) f ??1? 所以 f max ??1? 30? 用配方法化下列二次形成規(guī)范形 ? 并寫出所用變換的矩陣 ? (1) f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3? 解 f(x1? x2? x3)?x12?3x22?5x32?2x1x2?4x1x3 ?(x1?x2?2x3)2?4x2x3?2x22?x32 ?(x1?x2?2x3)2?2x22?(2x2?x3)2? 令 ???????????3232232112 22xxy xyxxxy ? 即??????????????323223211221225yyxyxyyyx? 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32? 所用的變換矩陣為 ?????????????????12002102251C? (2) f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3? 解 f(x1? x2? x3)?x12?2x32?2x1x3?2x2x3 ?(x1?x3)2?x32?2x2x3? ?(x1?x3)2?x22?(x2?x3)2? 令 ??????????32322311xxy xyxxy ? 即????????????323223211yyx yxyyyx ? 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32? 所用的變換矩陣為 ???????????110 010111C ? (3) f(x1? x2? x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3? 解 f(x1? x2? x3)?2x12?x22?4x32?2x1x2?2x2x3? 322322221 2421)21(2 xxxxxx ????? 23232221 2)2(21)21(2 xxxxx ?????? 令 ????????????333222112)2(21)21(2xyxxyxxy? 即?????????????33322321121222212121yxyyxyyyx? 二次型化為規(guī)范形 f?y12?y22?y32? 所用的變換矩陣為 ???????? ???100 22011121C? 31? 設(shè) f?x12?x22?5x32?2ax1x2?2x1x3?4x2x3 為正定二次型 ? 求 a? 解 二次型的矩陣為 ???????????521 2111a aA ? 其主子式為 a11?1? 2111 aa a ?? ? )45(521 2111 ????? aaa a ? 因?yàn)?f為正主二次型 ? 所以必有 1?a2?0且 ?a(5a?4)?0? 解之得 054 ??? a ? 32? 判別下列二次型的正定性 ? (1) f??2x12?6x22?4x32?2x1x2?2x1x3? 解 二次型的矩陣為 ????????????401 061112A ? 因?yàn)? 0211 ???a ? 01161 12 ???? ? 038|| ???A ? 所以 f為負(fù)定 ? (2) f?x12?3x22?9x32?19x42?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4? 解 二次型的矩陣為?????????????????19631690230311211A ? 因?yàn)? 0111 ??a ? 0431 11 ??? ? , 06902 031 211 ??? ? , 024??A ? 所以 f為正定 ? 33? 證明對(duì)稱陣 A 為正定的充分必要條件是 ? 存在可逆矩陣 U? 使 A?U TU? 即 A與單位陣 E合同 ? 證明 因?yàn)閷?duì)稱陣 A為正定的 ? 所以存在正交矩陣 P使 PTAP?diag(?1? ?2? ? ? ?? ?n)??? 即 A?P?PT? 其中 ?1? ?2? ? ? ?? ?n均為正數(shù) ? 令 ), , ,d i a g ( 211 n??? ????? ? 則 ???1?1? A?P?1?1TPT? 再令 U??1TPT? 則 U可逆 ? 且 A?UTU?
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