線代答案第五章(已修改)
2024-09-20 21:17 本頁面
【正文】 第五章 相似矩陣及二次型 1? 試用施密特法把下列向量組正交化 ? (1) ?????????931 421111) , ,(321 aaa? 解 根據(jù)施密特正交化方法 ? ??????????11111 ab? ????????????101],[],[111 2122 bbbabab ? ???????? ?????12131],[],[],[],[222 32111 3133 bbbabbbbabab ? (2)??????????????011101110111) , ,( 321 aaa ? 解 根據(jù)施密特正交化方法 ? ?????????????110111 ab ? ??????????????123131],[],[1112122 bbbabab ? ?????????? ?????433151],[],[],[],[222321113133 bbbabbbbabab ? 2? 下列矩陣是不是正交陣 : (1)?????????????????121312112131211。 解 此矩陣的第一個(gè)行向量非單位向量 , 故不是正交陣 ? (2)????????????????????979494949198949891? 解 該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量 ? 且兩兩正交 ? 故為正交陣 ? 3? 設(shè) x為 n維列向量 ? xTx?1? 令 H?E?2xxT? 證明 H是對稱的正交陣 ? 證明 因?yàn)? HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T ?E?2(xT)TxT?E?2xxT? 所以 H是對稱矩陣 ? 因?yàn)? HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT) ?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT) ?E?4xxT?4x(xTx)xT ?E?4xxT?4xxT ?E? 所以 H是正交矩陣 ? 4? 設(shè) A與 B都是 n階正交陣 ? 證明 AB也是正交陣 ? 證明 因?yàn)?A? B是 n階正交陣 ? 故 A?1?AT? B?1?BT? (AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E? 故 AB也是正交陣 ? 5? 求下列矩陣的特征值和特征向量 : (1) ?????????? ??201 335212 。 解 3)1(201 335212|| ?????? ?????? ????? EA ? 故 A的特征值為 ???1(三重 )? 對于特征值 ???1? 由 ?????????????????? ????000 110101101 325213 ~EA ? 得方程 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系 p1?(1? 1? ?1)T? 向量 p1就是對應(yīng)于特征值 ???1的特征值向量 . (2) ????????633 312321 。 解 )9)(1(633 312321|| ????????? ??????? EA ? 故 A的特征值為 ?1?0? ?2??1? ?3?9? 對于特征值 ?1?0? 由 ?????????????????000 110321633 312321 ~A ? 得方程 Ax?0的基礎(chǔ)解系 p1?(?1? ?1? 1)T? 向量 p1是對應(yīng)于特征值 ?1?0的特征值向量 . 對于特征值 ?2??1, 由 ??????????????????000 100322733 322322 ~EA ? 得方程 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系 p2?(?1? 1? 0)T? 向量 p2就是對應(yīng)于特征值 ?2??1的特征值向量 ? 對于特征值 ?3?9? 由 ?????????????????????????000 2110 1113333823289 ~EA ? 得方程 (A?9E)x?0的基礎(chǔ)解系 p3?(1/2? 1/2? 1)T? 向量 p3就是對應(yīng)于特征值 ?3?9的特征值向量 ? (3)??????????0001001001001000. 解 22 )1()1(001010010100|| ????????? ??????? EA ? 故 A的特征值為 ?1??2??1? ?3??4?1? 對于特征值 ?1??2??1? 由 ??????????????????????00000000011010011001011001101001~EA ? 得方程 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系 p1?(1? 0? 0? ?1)T? p2?(0? 1? ?1? 0)T? 向量 p1和 p2是對應(yīng)于特征值 ?1??2??1的線性無關(guān)特征值向量 ? 對于特征值 ?3??4?1? 由 ?????????? ? ?????????????????00000000011010011001011001101001~EA ? 得方程 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系 p3?(1? 0? 0? 1)T? p4?(0? 1? 1? 0)T? 向量 p3和 p4是對應(yīng)于特征值 ?3??4?1的線性無關(guān)特征值向量 ? 6? 設(shè) A為 n階矩陣 ? 證明 AT與 A的特征值相同 ? 證明 因?yàn)? |AT??E|?|(A??E)T|?|A??E|T?|A??E|? 所以 AT與 A的特征多項(xiàng)式相同 ? 從而 AT與 A的特征值相同 ? 7? 設(shè) n階矩陣 A、 B滿足 R(A)?R(B)?n? 證明 A 與 B有公共的特征值 ? 有公共的特征向量 ? 證明 設(shè) R(A)?r? R(B)?t? 則 r?t?n? 若 a1? a2? ???? an?r是齊次方程組 Ax?0的基礎(chǔ)解系 ? 顯然它們是 A的對應(yīng)于特征值 ??0的線性無關(guān)的特征向量 ? 類似地 ? 設(shè) b1? b2? ???? bn?t是齊次方程組 Bx?0 的基礎(chǔ)解系 ? 則它們是 B的對應(yīng)于特征值 ??0的線性無關(guān)的特征向量 ? 由于 (n?r)?(n?t)?n?(n?r?t)?n? 故 a1? a2? ???? an?r? b1? b2? ???? bn?t必線性相關(guān) ? 于是有不全為 0的數(shù) k1? k2? ???? kn?r? l1? l2? ???? ln?t? 使 k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r?l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0? 記 ??k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r??(l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r)? 則
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