【正文】 ??aTa? 從而 ??0或 ??aTa? 設 ?1? ?2? ? ? ?? ?n是 A的所有特征值 ? 因為 A?aaT的主對角線性上的元素為 a12? a22? ? ? ?? an2? 所以 a12?a22? ? ? ? ?an2?aTa??1??2? ? ? ? ??n? 這說明在 ?1? ?2? ? ? ?? ?n中有且只有一 個等于 aTa? 而其余 n?1個全為 0? 即 ??0是 A的 n?1重特征值 ? (2)求 A的非零特征值及 n個線性無關的特征向量 ? 解 設 ?1?aTa? ?2? ? ? ? ??n?0? 因為 Aa?aaTa?(aTa)a??1a? 所以 p1?a 是對應于 ?1?aTa 的特征向量 ? 對于 ?2? ? ? ? ??n?0? 解方程 Ax?0? 即 aaTx?0? 因為 a?0? 所以 aTx?0? 即 a1x1?a2x2? ? ? ? ?anxn?0? 其線性無關解為 p2?(?a2? a1? 0? ? ? ?? 0)T? p3?(?a3? 0? a1? ? ? ?? 0)T? ? ? ?? pn?(?an? 0? 0? ? ? ?? a1)T? 因此 n個線性無關特征向量構成的矩陣為 ?????????????????????????????????????112212100), , ,(aaaaaaannnppp ? 22? 設 ???????? ??340 430241A ? 求 A100? 解 由 )5)(5)(1(340 430241|| ??????????? ??????? EA ? 得 A的特征值為 ?1?1? ?2?5? ?3??5? 對于 ?1?1? 解方程 (A?E)x?0? 得特征向量 p1?(1? 0? 0)T? 對于 ?1?5? 解方程 (A?5E)x?0? 得特征向量 p2?(2? 1? 2)T? 對于 ?1??5? 解方程 (A?5E)x?0? 得特征向量 p3?(1? ?2? 1)T? 令 P?(p1? p2? p3)? 則 P?1AP?diag(1? 5? ?5)??? A?P?P?1? A100?P?100P?1? 因為 ?100?diag(1? 5100? 5100)? ??????????????????? ?? ??120 21050551120 210121 11P ? 所以 ?????????????????????????? ??120 210505551120 21012151 1 0 01 0 01 0 0A ???????? ??100100100500 0501501 ? 23? 在某國 ? 每年有比例為 p的農村居民移居城鎮(zhèn) ? 有比例為 q 的城鎮(zhèn)居民移居農村 ? 假設該國總人口數(shù)不變 ? 且上述人口遷移的規(guī)律也不變 ? 把 n 年后農村人口和城鎮(zhèn)人口占總人口的比例依次記為 xn和 yn(xn?yn?1)? (1)求關系式 ????????????? ?? nnnn yxAyx 11中的矩陣 A? 解 由題意知 xn?1?xn?qyn?pxn?(1?p)xn?qyn? yn?1?yn?pxn?qyn? pxn?(1?q)yn? 可用矩陣表示為 ???????????? ????????? ?? nnnn yxqp qpyx 1111? 因此 ?????? ??? qp qpA 11 ? (2)設目前農村人口與城鎮(zhèn)人口相等 ? 即 ????????????? ? 求??????nnyx ? 解 由 ????????????? ?? nnnn yxAyx 11可知 ????????????? 00yxAyx nnn? 由 )1)(1(11|| qpqp qpEA ??????????? ????? ? 得 A的特征值為 ?1?1? ?2?r? 其中 r?1?p?q? 對于 ?1?1? 解方程 (A?E)x?0? 得特征向量 p1?(q? p)T? 對于 ?1?r? 解方程 (A?rE)x?0? 得特征向量 p2?(?1? 1)T? 令 ?????? ??? 11) ,(21 pqP pp? 則 P?1AP?diag(1? r)??? A?P?P?1? An?P?nP?1? 于是 1110 0111 ??????? ????????????? ?? pqrpqA nn ?????? ????????????? ??? qprpqqp n 110 01111 ?????? ?? ???? nnnn qrpprp qrqprqqp 1 ? ???????????? ?? ?????????? nnnnnn qrpprp qrqprqqpyx ?????? ?? ???? nnrpqp rqpqqp )(2 )(2)(2 1 ? 24? (1)設 ??????? ?? 32 23A ? 求 ?(A)?A10?5A9? 解 由 )5)(1(32 23|| ????? ???? ????? EA ? 得 A的特征值為 ?1?1? ?2?5? 對于 ?1?1? 解方程 (A?E)x?0? 得單位特征向量 T)1 ,1(21 ? 對于 ?1?5? 解方程 (A?5E)x?0? 得單位特征向量 T)1 ,1(21 ? ? 于是有正交矩陣 ?????? ?? 11 1121P ? 使得 P?1AP?diag(1? 5)??? 從而 A?P?P?1? Ak?P?kP?1? 因此 ?(A)?P?(?)P?1?P(?10?5?9)P?1 ?P[diag(1? 510)?5diag(1? 59)]P?1 ?Pdiag(?4? 0)P?1 ???????????????????? ?? 11 112100 0411 1121 ?????????????? ?? ??? 11 11222 22 ? (2)設 ?????????122 221212A , 求 ?(A)?A10?6A9?5A8? 解 求得正交矩陣為 ??????????? ??? 202 231 23161P ? 使得 P?1AP?diag(?1? 1? 5)??? A?P?P?1? 于是 ?(A)?P?(?)P?1?P(?10?6?9?5?8)P?1 ?P[?8(??E)(??5E)]P?1 ?Pdiag(1? 1? 58)diag(?2? 0? 4)diag(?6? ?4? 0)P?1 ?Pdiag(12? 0? 0)P?1 ???????? ? ????????????????????? ??? 222 033 2110012202 231 23161 ?????????? ???422 2112112 ? 25? 用矩陣記號表示下列二次型 : (1) f?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz? 解 ?????????????????zyxzyxf121 2