線代答案第五章-wenkub.com
2024-08-31 21:17 本頁(yè)面
【正文】 解 )9)(1(633 312321|| ????????? ??????? EA ? 故 A的特征值為 ?1?0? ?2??1? ?3?9? 對(duì)于特征值 ?1?0? 由 ?????????????????000 110321633 312321 ~A ? 得方程 Ax?0的基礎(chǔ)解系 p1?(?1? ?1? 1)T? 向量 p1是對(duì)應(yīng)于特征值 ?1?0的特征值向量 . 對(duì)于特征值 ?2??1, 由 ??????????????????000 100322733 322322 ~EA ? 得方程 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系 p2?(?1? 1? 0)T? 向量 p2就是對(duì)應(yīng)于特征值 ?2??1的特征值向量 ? 對(duì)于特征值 ?3?9? 由 ?????????????????????????000 2110 1113333823289 ~EA ? 得方程 (A?9E)x?0的基礎(chǔ)解系 p3?(1/2? 1/2? 1)T? 向量 p3就是對(duì)應(yīng)于特征值 ?3?9的特征值向量 ? (3)??????????0001001001001000. 解 22 )1()1(001010010100|| ????????? ??????? EA ? 故 A的特征值為 ?1??2??1? ?3??4?1? 對(duì)于特征值 ?1??2??1? 由 ??????????????????????00000000011010011001011001101001~EA ? 得方程 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系 p1?(1? 0? 0? ?1)T? p2?(0? 1? ?1? 0)T? 向量 p1和 p2是對(duì)應(yīng)于特征值 ?1??2??1的線性無(wú)關(guān)特征值向量 ? 對(duì)于特征值 ?3??4?1? 由 ?????????? ? ?????????????????00000000011010011001011001101001~EA ? 得方程 (A?E)x?0的基礎(chǔ)解系 p3?(1? 0? 0? 1)T? p4?(0? 1? 1? 0)T? 向量 p3和 p4是對(duì)應(yīng)于特征值 ?3??4?1的線性無(wú)關(guān)特征值向量 ? 6? 設(shè) A為 n階矩陣 ? 證明 AT與 A的特征值相同 ? 證明 因?yàn)? |AT??E|?|(A??E)T|?|A??E|T?|A??E|? 所以 AT與 A的特征多項(xiàng)式相同 ? 從而 AT與 A的特征值相同 ? 7? 設(shè) n階矩陣 A、 B滿足 R(A)?R(B)?n? 證明 A 與 B有公共的特征值 ? 有公共的特征向量 ? 證明 設(shè) R(A)?r? R(B)?t? 則 r?t?n? 若 a1? a2? ???? an?r是齊次方程組 Ax?0的基礎(chǔ)解系 ? 顯然它們是 A的對(duì)應(yīng)于特征值 ??0的線性無(wú)關(guān)的特征向量 ? 類似地 ? 設(shè) b1? b2? ???? bn?t是齊次方程組 Bx?0 的基礎(chǔ)解系 ? 則它們是 B的對(duì)應(yīng)于特征值 ??0的線性無(wú)關(guān)的特征向量 ? 由于 (n?r)?(n?t)?n?(n?r?t)?n? 故 a1? a2? ???? an?r? b1? b2? ???? bn?t必線性相關(guān) ? 于是有不全為 0的數(shù) k1? k2? ???? kn?r? l1? l2? ???? ln?t? 使 k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r?l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0? 記 ??k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r??(l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r)? 則 k1? k2? ???? kn?r不全為 0? 否則 l1? l2? ???? ln?t不全為 0? 而 l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0? 與 b1? b2? ???? bn?t線性無(wú)關(guān)相矛盾 ? 因此 ? ??0? ?是 A 的也是 B 的關(guān)于 ??0的特征向量 ? 所以 A與 B有公共的特征值 ? 有公共的特征向量 ? 8? 設(shè) A2?3A?2E?O? 證明 A的特征值只能取 1或 2? 證明 設(shè) ?是 A的任意一個(gè)特征值 ? x是 A的對(duì)應(yīng)于 ?的特征向量 ? 則 (A2?3A?2E)x??2x?3?x?2x?(?2?3??2)x?0? 因?yàn)?x?0? 所以 ?2?3??2?0? 即 ?是方程 ?2?3??2?0 的根 ? 也就是說(shuō) ??1或 ??2? 9? 設(shè) A為正交陣 ? 且 |A|??1? 證明 ???1是 A的特征值 ? 證明 因?yàn)?A為正交矩陣 ? 所以 A的特征值為 ?1或 1? 因?yàn)?|A|等于所有特征值之積 ? 又 |A|??1? 所以必有奇數(shù)個(gè)特征值為 ?1? 即 ???1是 A的特征值 ? 10? 設(shè) ??0是 m 階矩陣 Am?nBn?m的特征值 ? 證明 ?也是 n 階矩陣 BA的特征值 ? 證明 設(shè) x是 AB的對(duì)應(yīng)于 ??0的特征向量 ? 則有 (AB)x??x? 于是 B(AB)x?B(?x)? 或 BA(B x)??(Bx)? 從而 ?是 BA的特征值 ? 且 Bx是 BA的對(duì)應(yīng)于 ?的特征向量 ? 11? 已知 3階矩陣 A的特征值為 1? 2? 3? 求 |A3?5A2?7A|? 解 令 ?(?)??3?5?2?7?? 則 ?(1)?3? ?(2)?2? ?(3)?3是 ?(A)的特征值 ? 故 |A3?5A2?7A|?|?(A)|??(1)??(2)??(3)?3?2?3?18? 12? 已知 3階矩陣 A的特征值為 1? 2? ?3? 求 |A*?3A?2E|? 解 因?yàn)?|A|?1?2?(?3)??6?0? 所以 A可逆 ? 故 A*?|A|A?1??6A?1? A*?3A?2E??6A?1?3A?2E? 令 ?(?)??6??1?3?2?2? 則 ?(1)??1? ?(2)?5? ?(?3)??5 是 ?(A)的特征值 ? 故 |A*?3A?2E|?|?6A?1?3A?2E|?|?(A)| ??(1)??(2)??(?3)??1?5?(?5)?25? 13? 設(shè) A、 B都是 n階矩陣 ? 且 A可逆 ? 證明 AB與 BA相 似 ? 證明 取 P?A? 則 P?1ABP?A?1ABA?BA? 即 AB與 BA相似 ? 14? 設(shè)矩陣 ?????????504 13102 xA 可相似對(duì)角化 ? 求 x? 解 由 )6()1(504 13 102|| 2 ????????? ?????? xEA ? 得 A的特征值為 ?1?6? ?2??3?1? 因?yàn)?A可相似對(duì)角化 ? 所以對(duì)于 ?2??3?1? 齊次線性方程組(A?E)x?0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 ? 因此 R(A?E)?1? 由 ???????? ???????????000 300101404 03101)( ~ xxEA r 知當(dāng) x?3時(shí) R(A?E)?1? 即 x?3為所求 ? 15? 已知 p?(1? 1? ?1)T是矩陣 ????????????21 35212baA的一個(gè)特征向量 ? (1)求參數(shù) a? b及特征向量 p所對(duì)應(yīng)的特征值 ? 解 設(shè) ?是特征向量 p所對(duì)應(yīng)的特征值 ? 則 (A??E)p?0? 即 ?????????????????????
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