線型代數(shù)必須熟記的結(jié)論-文庫吧資料
2024-09-12 21:16本頁面
【正文】 ??? ? ?????? ??； （ 拉普拉斯） ⑤、 1 11 1 1AO AOCB B C A B? ?? ? ????? ? ???? ??? ??；（拉普拉斯） 矩陣的初等變換與線性方程組 1. 一個 mn? 矩陣 A ，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的： rmnEOF OO????????； 等價類：所有與 A 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣； 對于 同型矩陣 A 、 B ，若 ( ) ( )r A r B A B? ????? ； 2. 行最簡形矩陣： ①、只能通過初等行變換獲得； ②、 每行首個非 0 元素必須為 1； ③、 每行首個非 0 元素所在列的其他元素必須為 0； 3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似 ，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換 ） ① 、 若 ( , ) ( , )rA E E X?? ? ??? ，則 A 可逆，且 1XA?? ； ② 、對矩陣 ( , )AB 做初等行變化，當(dāng) A 變?yōu)?E 時， B 就變成 1AB? ，即： 1( , ) ( , )cA B E A B???? ； ③、 求解線形方程組：對于 n 個未知數(shù) n 個方程 Ax b? ，如果 ( , ) ( , )rAb E x ，則 A 可逆，且 1x Ab?? ； 4. 初等矩陣和對角矩陣的概念： ①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣； 3 ②、12n?????????????，左乘矩陣 A ， i? 乘 A 的各行元素；右乘， i? 乘 A 的各列元素； ③ 、對調(diào)兩行或兩列，符號 (, )Ei j ，且 1( , ) ( , )E i j E i j? ? ，例如： 1111111?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?； ④ 、 倍乘某行或某列，符號 (( ))Eik ，且 1 1( ( )) ( ( ))E i k E ik? ?，例如：1 111 ( 0)1 1kkk? ???? ???? ??????????； ⑤ 、倍加某行或某列，符號 ( ( ))Eijk ,且 1( ( )) ( ( ))E ij k E ij k? ??，如： 1111 1 ( 0)11kkk? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?； 5. 矩陣秩的基本性質(zhì)： ①、 0 ( ) m in( , )mnr A m n??? ； ②、 ( ) ( )Tr A r A? ； ③、若 AB，則 ( ) ( )r A r B? ； ④、若 P 、 Q 可逆，則 ( ) ( ) ( ) ( )r A r PA r A Q r PA Q? ? ?； （ 可逆矩陣不影響矩陣的秩 ） ⑤、 m a x( ( ) , ( ) ) ( , ) ( ) ( )r A r B r A B r A r B? ? ?； （ ※ ） ⑥、 ( ) ( ) ( )r A B r A r B? ? ?； （ ※ ） ⑦、 ( ) m in( ( ), ( ))r AB r A r B? ； （ ※ ） ⑧、 如果 A 是 mn? 矩陣， B 是 ns? 矩陣，且 0AB? ，則： （ ※ ） Ⅰ 、 B 的 列 向量全部是齊次方程組 0AX? 解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）； Ⅱ、 ( ) ( )r A r B n?? ⑨、若 A 、 B 均為 n 階方陣，則 ( ) ( ) ( )r AB r A r B n? ? ?； 6. 三種特殊矩陣的方冪： ①、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為
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