線型代數(shù)必須熟記的結(jié)論(已修改)
2025-09-15 21:16 本頁面
【正文】 1 行列式 1. n 行列式共有 2n 個元素，展開后有 !n 項(xiàng) ，可分解為 2n 行列式； 2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)： ①、ijA和ija的大小無關(guān)； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為 0； ③、某行（列）的元素乘以該行 （列）元素的代數(shù)余子式為 A ； 3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系： ( 1 ) ( 1 )i j i jij ij ij ijM A A M??? ? ? ? 4. 設(shè) n 行列式 D ： 將 D 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為 1D ，則 ( 1)21 ( 1) nnDD??? ； 將 D 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90 ，所得行列式為 2D ，則 ( 1)22 ( 1)nnDD??? ； 將 D 主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為 3D ，則 3DD? ； 將 D 主副角線翻轉(zhuǎn) 后，所得行列式為 4D ，則 4DD? ； 5. 行列式的重要公式： ①、主對角行列式：主對角元素的乘積； ②、副對角行列式：副對角元素的乘積 ( 1)2( 1)nn???? ； ③、上、下三角行列式 （ ? ? ?? ?◥ ◣ ）：主對角元素的乘積； ④ 、 ??◤ 和 ??◢ ：副對角元素的乘 積 ( 1)2( 1)nn???? ； ⑤ 、拉普拉斯展開式： A O A C ABC B O B??、 ( 1 )mnC A O A ABB O B C? ? ? ⑥ 、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積； ⑦ 、特征值； 6. 對于 n 階行列式 A ，恒有：1 ( 1 )nn k n kkkE A S? ? ???? ? ? ??，其中 kS 為 k 階主子式； 7. 證明 0A? 的方法： ①、 AA?? ； ②、 反證法； ③、 構(gòu)造齊次方程組 0Ax? ，證明其有非零解； ④、 利用秩，證明 ()rA n? ； ⑤、 證明 0 是其特征值； 矩陣 1. A 是 n 階可逆矩陣 ： ? 0A? （是非奇異矩陣）； ? ()rA n? （是滿秩矩陣） ? A 的行（列）向量組線性無關(guān)； ? 齊次方程組 0Ax? 有 非零解； ? nbR?? ， Ax b? 總有唯一解； ? A 與 E 等價； ? A 可表示成若干個初等矩陣的乘積； ? A 的特征值全不為 0； ? TAA是正定矩陣； 2 ? A 的行（列）向量組是 nR 的一組基； ? A 是 nR 中某兩組基的過渡矩陣； 2. 對于 n 階矩陣 A ： **AA A A A E?? 無條件恒 成立； 3. 1 * * 1 1 1 * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T TA A A A A A? ? ? ?? ? ? * * * 1 1 1( ) ( ) ( )T T TAB B A AB B A AB B A? ? ?? ? ? 4. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和； 5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論 ，其中均 A 、 B 可逆 ： 若12sAAAA???????，則： Ⅰ、12 sA A A A?； Ⅱ、1111 21sAAAA?????????????； ②、 1 11AO AOOB OB? ??????? ?????? ??； （主對角分塊） ③、 1 11OA OBBO AO? ??????? ?????? ??； （副對角分塊） ④、 1 1 1 11AC A A C BOB OB? ? ? ???
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