【正文】 xyOABC 圖 如圖所示，欲證直線 AC 經(jīng)過原點(diǎn) O ，只須證 ,AOC 三點(diǎn)共線即可。因?yàn)?AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，可知 ,AB兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為 2p? ，故可 設(shè) 2(2 ,2 )A pt pt ，2( , )82ppB tt?． 據(jù)題意不難得出 ( , 0 ), ( , )2 2 2p p pFC t??，從而 20 (2 , 2 ),A pt pt? ( , ),22ppOC t??? 24OA t OC?? ，因此 ,AOC 三點(diǎn)共線． 柯西不等式在解其它題方面的應(yīng)用 柯西不等式在整個不等式證明求解當(dāng)中都起了很大的作 用，它與我們的其它知識相結(jié)之后，就變得更加靈活，使解題增加了難度． 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 16 例 設(shè) 1 2 3,a a a ??? 是正實(shí)數(shù)數(shù)列，對所有的 1n? 滿足條件 21njj an? ??，證明對所有 1n? ，有 211 1 1(1 )42n jj a n? ? ? ? ?????． 證明：先證一個更一般的命題：設(shè) 12,na a a??? 和 12,nb b b??? 都是正數(shù)， 且 12 nb b b? ????? ． （ ） 若對所有 1,2, ,kn? ??? ，11kkjjjjba????? ． （ ） 則有 2211kkjjjjba?????． （ ） 事實(shí)上，設(shè) 1 0nb? ? ，由 （ ）和 （ ）可得 111 1 1 1( ) ( )n k n kk k j k k jk j k jb b b b b a??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 改變求和次序得 1111( ) ( )n n n nj k k j k kj k j j k jb b b a b b??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?． 由此可得 211nnj j jjjb a b?????． 由柯西不等式，有 2 2 21 1 1()n n nj j j jj i ja b a b? ? ??? ? ?． 所以 2 2 2 21 1 1 1( ) ( )n n n nj j j j jj j j jb a b a b? ? ? ???? ? ? ? 即 2211nnjjjjba?????． 令 11 ( 1 , 2 , , )1jb j j j njj? ? ? ? ? ?????． 則 2221 1 11 1 1 1 1( 1 )42( 1 ) ( 2 )n n njj j ja nj j j? ? ?? ? ? ? ? ??? ???? ? ?． 例 試問：當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù) 01, , , ( 2)nx x x n??? ?滿足什么條件時，存在實(shí)數(shù)01, , , ny y y??? ，使得 2 2 2 20 1 2 nz z z z? ? ? ????成立，其中 2 2 2k k kz x iy?? ， i 為虛數(shù)單位，0,1, ,kn? ??? .證明你的結(jié)論． 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 17 分析：將 2 2 2 20 1 2 nz z z z? ? ? ????成立轉(zhuǎn)換到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求解。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，結(jié)合柯西不等式尋找 ( 1, 2, , )ix i n? ??? 的范圍． 解：將 2 2 2 20 1 2 nz z z z? ? ? ????轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，即 002 2 201101nnkkkknkkkx x y yx y x y???? ? ? ????? ?????? ． （ ） 若存在實(shí)數(shù) 01, , , ny y y??? 使（ 24）成立，則02 2 201()nkkk x y x y? ??． 由柯西不等式可得 02 2 2 2011( )( )nnkkkkx y x y??? ?? ． （ ） 如果0221nkkxx???，由（ ）可得 220 1nkkyy???，從而02 2 2 2011( )( )nnkkkkx y x y??? ??與（ ） 矛盾，于是得 220 1nkkxx??? ． （ ） 反之，若（ ）成立，有兩種情況 ① 20 1nkkxx???，則取 kkyx? ， 1,2, ,kn? ??? ，顯然（ ）成立 ② 20 1nkkxx???，則 221 0nkoka x x?? ? ??，則 12,nx x x??? 不全為 0 不妨設(shè) 0nx? ，取 0ky? ， 0,1, , 2kn? ??? ? ，有11 2 2 2 211,nnnnn n n na x a xyyx x x x????? ? ???. 易知（ ）成立 . 綜上，所求的條件為 20 1nkkxx???． 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 18 第 七 章 結(jié) 論 高等代數(shù)許多內(nèi)容的知識背景源于中學(xué) ，在課程教學(xué)改革實(shí)踐中，不僅要挖掘知識體系方面的聯(lián)系，更要挖掘數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念方面的聯(lián)系．從數(shù)學(xué)方法論的角度看，高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)在思想方法方面的聯(lián)系主要體現(xiàn)在抽象化思想、分類思想、結(jié)構(gòu)思想、類比推理思想、公理化方法等方面．注意與中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系對比不但可以降低高等代數(shù)課程的學(xué)習(xí)難度，而且也可增強(qiáng)本課程對培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)作用 ． 從基本概念、定理以及知識背景等方面闡述高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系，把中學(xué)數(shù)學(xué)知識恰當(dāng)?shù)厝谌氲礁叩却鷶?shù)的教學(xué)中來，將受到更好的效果．另外，用高等代數(shù)的觀點(diǎn)去研究初等數(shù) 學(xué)史新世紀(jì)對中學(xué)數(shù)學(xué)教師的高水平要求，教師是否具有較高的教學(xué)觀點(diǎn)，是衡量教師數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要標(biāo)準(zhǔn)．教師具有高的觀點(diǎn)，就能從高處看清中學(xué)教材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)聯(lián)系，把握教材的重、難點(diǎn)；教師具有高觀點(diǎn)，就能從認(rèn)知的角度，在知識的各部分參透高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性、判斷性思維． 高等代數(shù)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)并不是簡單的一題多解 ,而是一種知識的融會貫通和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散和聯(lián)想思維．此外 ,高等代數(shù)中講到的代數(shù)運(yùn)算、數(shù)學(xué)歸納法、同構(gòu)映照、變換等方法和思想亦可應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)中 ,以免學(xué)生學(xué)完高等代數(shù)只知行列式、矩陣就是用來求解 方程組．同時使高等代數(shù)知識得到一定的應(yīng)用并讓學(xué)生對高等代數(shù)產(chǎn)生更大的興趣．更重要的是使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的每一個分支都是一種工具 ,而且各分支之間是有聯(lián)系的．讓學(xué)生把數(shù)學(xué)作為一種工具學(xué)好用好是我們的目標(biāo)之一． 用高等的觀點(diǎn)去研究初等數(shù)學(xué)是新世紀(jì)對中學(xué)數(shù)學(xué)教師高水平的要求 ,教師是否具有較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn) ,是衡量教師數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要標(biāo)準(zhǔn) .教師具有高的觀點(diǎn) ,就能從高處看清中學(xué)教材的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)聯(lián)系 ,把握教材的重難點(diǎn) 。教師具有高觀點(diǎn) .就能從認(rèn)知的角度 ,在知識的各部分滲透高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn) ,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性、批判性思維 .教師是否具有 高觀點(diǎn) ,也是提高教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)高層次人才的重要保證 .中學(xué)教師絕大多數(shù)畢業(yè)于師范院校本、?？?,具有高等數(shù)學(xué)知識是無疑的 ,但能用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的卻不多見 .因此 ,作為將來從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的大學(xué)生 ,學(xué)好高等數(shù)學(xué) ,使自己成為一名高素質(zhì)的中學(xué)教師 ,是時代賦予我們的義不容辭的責(zé)任 ． 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 19 參考文獻(xiàn) [1] 候維民 .從數(shù)學(xué)方法論看高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的多種聯(lián)系 [J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2021 年 8 月，第 12 卷第三期 . 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[11] 王高雄 .常微分方程 [M].北京：高等教育出版社， 2021. 興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文 20 致謝 在畢業(yè)論文完成的過程中，更是走的很困難 .完成了這篇論文之時，最深的感觸就是時間緊張，專業(yè)知識很是缺乏，在此感謝幫助過我的人，沒有他們的幫助，我是不可能順利完成論文的 .特別是感謝指導(dǎo)老師在完成整個畢業(yè)論文的過程中，給予我悉心的指導(dǎo)和幫助 .老師的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、勤奮的工作作風(fēng)、平易近人的處世風(fēng)范，給我留下了深刻的印象，將會在我今后的學(xué)習(xí)和生活中時刻影響我 .值此論文完稿之際，特此向老師致以衷心的感謝 !