【導讀】數字濾波器是數字信號處理中最重要的組成部分之一。在許多科學技術領域。中，廣泛使用濾波器對信號進行處理。數字濾波器可以分為兩類，即有限沖激響。應數字濾波器和無限沖激響應數字濾波器。濾波器的設計和實現來進行分析研究。在FIR濾波器的設計過程中主要探討了兩。的優(yōu)化設計并通過MATLAB的仿真實現。著重介紹了頻域直接設計法和優(yōu)化設

　　

【正文】 低通濾波器 （ ） 32 （ ） 式中， ? c 為變換前的截止角頻率， ? d 為變換后的截止角頻率。 （ 2） 低通濾波器 → 高通濾波器 （ ） （ ） 式中， ? c 為變換前的截止角頻率， ? d 為變換后的截止角頻率。 （ 3） 低通濾波器 → 帶通濾波器 （ ） （ ） （ ） 式中， ? c 為變換前的截止角頻率， ? u 為高端的截止角頻率， ? 1 為低端的截止角頻率。 （ 4） 低通濾波器 → 帶阻濾波器 （ ） （ ） （ ） 式中， ? c 為變換前的截止角頻率， ? u 為高端的截止角頻率， ? 1 為低 33 端的截止角頻率。 利用這種方法，可以保證濾波器的等波紋性，從穩(wěn)定的濾波器得到新的穩(wěn)定濾波器。所以，如果先設計出特定的低通濾波器，即可以以此為基礎導出各種新的濾波器。 從上面公式可以知道，當從低通濾波器向低通濾波器或高通濾波器變換時，使用比較簡單的變換式即可。但是向帶通濾波器和帶阻濾波器變換時，變換公式復雜，且變換次數也增加一倍。所以希望采用其他方法直接設計這類濾波器 IIR 數字濾波器的優(yōu)化設計 用間接法設計分段常數型的 FIR 數字濾波器時，效果不錯，但是對于要求任意幅度特性的濾波器，則不適合采用該方法，而只能用直接法來進行設計。 頻域直接設計法常用的思路是利用幅度平方誤差最小來設計數字濾波器。設IIR 數字濾波器由 k 個二階網絡級聯而成，系統(tǒng)函數用 H(z)表示， （ ） H(ejw )是希望設計的濾波器頻率響應，如果在（ 0， π）區(qū)間取 M 點數字頻率 ? i（ i=1,2,…,M ），那么，在這些給定的離散頻率點除， |Hd ( ejw )|和 | H(ejw )|的幅度平方誤差 J 為： J= （ ） 設計的目的就是調整各 H(e ijw )，即調整 H(ejw )的系數，使得 J 為最小。 由上式可以看出， J 是 4k+1 個未知參量的函數。 ，則 （ ） 為了求出使 J 最小的各位置參數，可以利用以下 4k+1 個方程求解： 34 ，其中 n 從 1 到 4k。 由方程組中的第一個方程，可以解得， （ ） 則有， （ ） 將 具體寫成對 an ， bn ， ， dn 的偏導函數，并簡化，可得： （ ） （ ） （ ） （ ） 實際計算中，以上方程組采用迭代法求解，其中 FletcherPowell 的優(yōu)化算法是效率比較高的一種，它是以最陡下降法的線性搜索為主的一種混合型算法。 FletcherPowell 算法： J 是 |A|， a1 ， b1 ， c1 ， d1 ， …a k ， bk ， ck ， dk 的非線性多元函數。 J 為正定函數，一定存在一組 |A|， a 1 ， b1 ， c1 ， d1 ， …a k ， bk ， ck ， dk 使 35 得 J 最小， |A|可以根據 ，直接求出， a1 ， b1 ， c1 ， d1 ， …a k ， bk ， ck ，dk 則因為 J 的非線性，須用迭代法求出。 設 X=（ a1 ， b1 ， c1 ， d1 ， …a k ， bk ， ck ， dk ） T 選取一初始向量 X0 =（ a10 ， b10 ， c10 ， d10 ， …a k ， b 0k ， c 0k ， d 0k ） X 1k? =Xk +tk Pk 若 |P（ X 1k? ） |＜ |P（ Xk ） |則可以求出使 |P|=min 的 X 其中 | Pk |為 |P|下降的方向向量 tk 為 |P|下降的步長因子 （ 1） |P|下降方向向量 | Pk |的選取 設 g 為 |P|的梯度，其方向為 J 的上升方向 則 g 為 |P|的最陡下降方向 因此： X 1k? =Xk tk gk （ 2） 最佳步長因子 tk 的選取 |P（ X 1k? ） |=|P（ Xk tk gk ） | 選取 t 使 |P（ X 1k? ） |=min 即 t 確定一初值 t0 ，采用二分法 當 時 令 tk =1r02t? （ 3） 最陡下降算法 36 a) X0 →X 1 b) 計算 P（ X1 ）、 g（ X1 ） c) 若 || g（ X1 ） ||＜ ? ，則輸出 X1 ,否則做 d。 d) 求最佳步長因子 t，使 P? ?)(*t 11 XgX =min e) X1 t*g(X1 )→X 1 ，轉 2 （ 4） FP 算法 最陡下降法僅取一階項，當 X 接近極小值，跌送收斂就很慢，即將 P（ X）取到二階項，得到如下算法： 初值 X0 →X 1 ，計算 g（ X1 ） 單位矩陣 I→B ， 0? k 求最佳步長因子 t，使 P? ?)(*t 11 XgX =min X1 t*g(X1 )→X 1 ，計算 |P（ X2 ） |， g（ X2 ） || g（ X2 ） ||＜ ? ，則輸出 X2 ，否則做 6 若 k=n，則 X2 ? X1 ,g(X2 )? g（ X1 ）轉 2 否 則 7 計算 g（ X2 ） g（ X1 ） ? Y， X2 X1 =S 計算 X2 ? X1 ， k+1? k 轉 3 用 MATLAB 編程利用該算法求解，程序如下： function [A, para] =IIR_dirFreq (Hd,k) u=0. 001: N=5000: E=zeros (1, N+1): M=length (Hd)： =O： pi/(MI)： pi。 zl=exp (j* )； z2=z1*zl 37 fai=zeros（ 1,4*k）； diff_fai=zeros(1,4k)。 E(2)=。n=3。 While (abs(E(n1)E(n2))＞ ) ＆ （ n＜ =N） P=abs（ IIR（ fai， M））； A0=abs((P*Hd’)/(P*P))。 E(n)=sum((A0*Pabs(Hd)) ? 2)。 For n1=1:k m1=4*(n11)。 c=2*A0*Pabs(Hd))。 diff_fai(m1+1)=c*(P*real(z1/(1+fai(m1+2)*z2+fai(m1+1)*z1)))’。 diff_fai(m1+2)=c*(P*real(z2/(1+fai(m1+2)*z2+fai(m1+1)*z1)))’。 diff_fai(m1+3)=c*(P*real(z1/(1+fai(m1+3)*z1+fai(m1+4)*z2))) diff_fai(m1+4)=c*(P*real(z2/(1+fai(m1+3)*z1+fai(m1+4)*z2))) end fai=faiu*diff_fai。 n=n+1。 end para=fai。A=A0 設函數輸入為希望設計的濾波器的頻率響應和實際設計的濾波器中所含二階網絡的個數，輸出為實際濾波器的 4k+l 個參數。參數 u 是控制算法穩(wěn)定性和收斂性的一個參量，試驗表明，取 較好。 圖 低通數字濾波器優(yōu)化設計的幅頻特性圖 38 圖 Chebyshev I 型數字濾波器的幅頻特性圖 由圖 和圖 結果可知分析如下： (1)采用優(yōu)化設計方法，其通帶波紋較??； (2)采用優(yōu)化設計方法，過渡帶較平滑； (3)采用優(yōu)化設計方法，阻帶的旁瓣較小。 39 第 5 章 總 結 人類正在進行信息化時代，而數字化又是信息技術發(fā)展的方向，因此包括數字濾波器在內的數字信號處理技術已成為電子信息學科中的工程技術人員必須研究的知識。 由于數字濾波器的概念比較抽象，加上其數字計算有比較繁瑣，所以借助好的計算機軟件來進行輔助設計，是數字濾波器研究領域的一個發(fā)展 趨勢。這樣的軟件有很多種，其中最具代表性的就是 MATLAB。 MATLAB 語言及其工具將一個優(yōu)秀軟件包的易用性與可靠性，通用性和專業(yè)性，以及一般目的的應用和高深的專業(yè)應用近乎完美的集成在一起，并憑借其功能強大，技術先進和應用之深廣，使其逐漸成為國際性的計算標準，為世界各地超過 20 萬名科學家和工程師所采用。利用 MATLAB 軟件來進行應用研究。 數字濾波器的設計方法有很多種，如 FIR 濾波器的窗函數設計法、 FIR 濾波器的最大誤差最小化準則、 IIR 濾波器的 sz 變換法、 IIR 濾波器的振幅平方函數近似法設計等等，將各種 方法進行比較，來找出數字濾波器的比較優(yōu)化的設計。并用 MATLAB 來加以驗證。 40 致謝 隨本次畢業(yè)論文的定稿，為三年的大學生活畫上句號。回首三年前，初入校園之情景仍歷歷在目，到如今只恍如隔日，不免感慨光陰易逝、韶華難追。然而這三年，帶給我的美好記憶，以及在三年里給予我無數幫助和關懷的師長和同學，是我永遠不會遺忘的。在此，我向你們致以最為真摯的謝意！ 經過半年的忙碌和工作，本次畢業(yè)設計已經接近尾聲，作為一個大學生的畢業(yè)設計，由于經驗的匱乏，難免有許多考慮不周全的地方，如果沒有的老師的督促和指導以及同學們的支持， 想要完成這個設計是難以想象的。 在這里首先要感謝我的導師 盧 老師。老師平日里工作繁多，但在我做畢業(yè)設計的每個階段，從外出實習到查閱資料、設計草案的確定和修改，中期檢查，后期詳細設計等整個過程中都給予了我悉心的指導。在本文的撰寫過程中，老師作為我的指導老師， 她 治學嚴謹，學識淵博，視野廣闊，為我營造了一種良好的學術氛圍。置身其間，耳濡目染，潛移默化，使我不僅接受了全新的思想觀念，樹立了明確的學術目標，領會了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，而且還明白了許多待人接物與為人處世的道理。其嚴以律己、寬以待人的崇高風 范，樸實無華、平易近人的人格魅力，與無微不至、感人至深的人文關懷，令人如沐春風，倍感溫馨。正是由于他在百忙之中多次審閱全文，對細節(jié)進行修改，并為本文的撰寫提供了許多中肯而且寶貴的意見，本文才得以成型。 然后還要感謝大學三年來所有的老師，為我們打下全面的專業(yè)知識的基礎，扎實的基礎知識幫助我更好完成畢業(yè)設計。同時還要感謝所有的同學們，正是因為有了你們的幫助和鼓勵。此次畢業(yè)設計才會順利完成。 最后感謝我的母校 青島理工 大學 （臨沂） 三年來對我的大力栽培，謝謝！ 41 參考文獻 [1] （日）谷狄隆嗣．數字濾波器與信號處 理 [M] ．科學出版社， 2020. [2] 倪養(yǎng)華，王重瑋．數字信號處理 — 原理與實現 [M]．上海交通大學出版社， 1999. [3] 程佩青．數字信號處理教程 [M]．清華大學出版社， 1995. [4] 丁玉美，高西全 .數字信號處理 [M]．西安電子科技大學出版社， 1994. [5] 鄭南寧．數字信號處理 [M]．西安，西安大學出版社， 1996. [6] 姜建國，曹建中，高玉明 .信號與系統(tǒng)分析基礎 [M]．北京：清華大學出版社， 1994.