【導(dǎo)讀】[3]張公緒,孫靜.統(tǒng)計(jì)過程控制與診斷[J].質(zhì)量與可靠性,2020.學(xué)學(xué)報(bào),第26卷第2期,2020.用[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào),2020.[J].化工學(xué)報(bào),第52卷第6期,2020年6月.并根據(jù)課題性質(zhì)對(duì)學(xué)生提出具體要求。ICA方法最早是由法國的和于80. 目前比較流行的ICA算法有Infomax算法、FastICA. 工業(yè)生產(chǎn)過程中極為突出。研究有著深刻的理論價(jià)值和不容忽視的重要性。幾年來，過程監(jiān)控已經(jīng)成為過程。能對(duì)數(shù)據(jù)的獨(dú)立性問題作出分析。ICA在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、混合語音分離、盲。對(duì)生產(chǎn)過程正常運(yùn)行狀態(tài)下的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行小波降噪和獨(dú)立成分分析，建立。用SPE統(tǒng)計(jì)量、2dI統(tǒng)計(jì)量和2eI統(tǒng)計(jì)量判斷系統(tǒng)是否發(fā)生故障。時(shí)，使用變量貢獻(xiàn)圖確定故障源，實(shí)現(xiàn)故障的分離。量和2eI統(tǒng)計(jì)量完成生產(chǎn)過程故障的檢測。

　　

【正文】 Kurtosis 信 息的，一般只用于獨(dú)立成分具有亞高斯性 (subGaussian)的情況[18]。 非高斯最大化原理還有個(gè)額外的優(yōu)點(diǎn)，它可以一個(gè)一個(gè)估計(jì)獨(dú)立成分。 互信息最小化 互信息最小化的方法源于信息論，是獨(dú)立成分估計(jì)的一種重要的方法。設(shè)有 m 個(gè)隨機(jī)變量 miyi ,1??， 的互信息定義為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????????? mi imi ypypypyHyiHymyyI111l og,2, ? (216) 其中， ??yp 是隨機(jī)變量 Y 的概率密度函數(shù)， ? ?iyp 為 Y 中各分量的邊緣概率密度函數(shù)。顯然， 0?I 。如果 Y 的各分量之間互相獨(dú)立，即： ? ? ? ????mi iypyp 1 (217) 則互信息 I 為零，因此互信息極小可以作為各成分相互獨(dú)立的判據(jù)。 最大似然估計(jì) 極大似然值估計(jì)是統(tǒng)計(jì)估計(jì)領(lǐng)域中的一種基本方法。它與信息原理緊密相關(guān)，本質(zhì)上它與最小化互信息是相同的 [19]。在無噪聲的 ICA 模型中推導(dǎo)似然度并不困難，我們可以直接定義似然函數(shù)，然后用最大似然函數(shù)的方法來估計(jì) ICA 模型，如果 W 等于矩天津大學(xué)仁愛學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 陣 A 的逆，似然函數(shù)可以取為如下形式 : ? ?? ? BtxbpiL TtniTi d e t1 1? ?? ?? (218) 在實(shí)際中普遍使用似然函數(shù)的對(duì)數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)在代數(shù)運(yùn)算方面更為簡潔，對(duì)數(shù)似然度可由下式給出： ? ?? ? BTtxbpiL TtniTi d e tlo glo g1 1? ?? ? ?? (219) 其中 ip 是 is 的密度函數(shù)， ? ?? ?Tttx ?,2,1? 是 x 的實(shí)現(xiàn)， Bdetlog 源于古典規(guī)則，該規(guī)則可以線性轉(zhuǎn)換隨機(jī)變量和它們的密度函數(shù)，一般來說，對(duì)任何具有密度 ip 的隨機(jī)向量 x 和任何矩陣 B， y 的密度可由信息原理給出。 最大似然函數(shù)估計(jì)判據(jù)要求關(guān)的估計(jì)概率密度必須準(zhǔn)確，在任何情況下，如果關(guān)于獨(dú)立成分特性的信息不準(zhǔn)確，極大似然估計(jì)將會(huì)給出完全錯(cuò)誤的結(jié)論。因此，在使用極大似然估計(jì)判據(jù)時(shí)必須小心。 綜上所述，一個(gè)好的判據(jù)應(yīng)既能反應(yīng)問題的實(shí)質(zhì)，又應(yīng)該便于計(jì)算，實(shí)現(xiàn)起來簡單。根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)，目前以非高斯最大和互信息最小應(yīng)用最多。 ICA 的基本算法 為了從與過程監(jiān)控的相關(guān)數(shù)據(jù)中有效的提取信息，進(jìn)一步簡化獨(dú)立成分分析的應(yīng)用，通常需要對(duì)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，它包括數(shù)據(jù)的中心化和白化。 中心化變換比較簡單，就是使觀測數(shù)據(jù)均值為零，即從 每次的觀測數(shù)據(jù)中去除變量自身的均值，提取其相對(duì)均值的變化信息。 如果一個(gè)中心化的隨機(jī)矢量 ],[ 21 nxxxx ?? ，若其個(gè)分量不相關(guān)且具有單位方差，換言之，觀測變量的協(xié)方差陣等于單位陣，則稱 x 是白化的。用協(xié)方差矩陣的形式表示為則有： ? ? IxxE T ? (220) 其中 I 為單位矩陣。 最常用的白化方法是主要采用 PCA 方法，通過對(duì)隨機(jī)矢量 x 的協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解完成的。因此，白化意味著線性轉(zhuǎn)換觀測數(shù)據(jù)矢量 x 乘以線性矩陣 V，即 : Vxz? (221) 獲得的新矢量 z 是白化的。 現(xiàn)在， ICA 模型中的數(shù)據(jù)是白化過的，則白化轉(zhuǎn)化混合矩陣 A 形成新的 39。A sAVAsZ 39。?? (222) 這樣經(jīng)過白化之后， 39。A 為正交的。 即 : ? ? I39。39。 ?? AAzzE T (223) 這意味著我們能限制混合矩陣在正交空間內(nèi)，原先需要估計(jì) A 中的 2n 個(gè)參數(shù)，現(xiàn) .在僅需要估計(jì)正交混合矩陣 39。A 。由于正交矩陣僅包含 ? ? 21?nn 個(gè)自由度，這樣當(dāng)維數(shù)天津大學(xué)仁愛學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 增大時(shí)，正交矩陣僅包含原先矩陣一半的參數(shù) [20]。 由此可知，白化使 ICA 問題得到了簡化，它使未知數(shù)據(jù)的估計(jì)量減少了一半，從而減少了問題的復(fù)雜度。尤其，當(dāng)數(shù)據(jù)維數(shù)較高時(shí)，這一點(diǎn)顯得尤為重要。 目前，已經(jīng)提出了多種 ICA 算法，最具代表性的有：由 Bell 提出的基于信息最大化 (Informax)的自組織神 經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由 Amari 提出的極大似然自然梯度算法，由 Oja 和Hyvarinen 提出的固定點(diǎn)算法以及 Hyvarinen 提出的快速 ICA 算法。其中， Bell 提出的ICA 算法具有較好的魯棒性，但收斂速度較慢。固定點(diǎn)算法是以近似負(fù)熵為目標(biāo)函數(shù)，收斂速度較快 (具有二階收斂性 )，但對(duì)初值的選擇比較敏感，隨機(jī)選擇的初始值有可能會(huì)導(dǎo)致不收斂 [21]。 綜合考慮目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)性和運(yùn)算的快捷性，借鑒快速 ICA 算法，采用非高斯最大化中的近似負(fù)熵作為目標(biāo)函數(shù)完成對(duì)現(xiàn)有快速 ICA 方法的改進(jìn)，估計(jì)多個(gè)獨(dú)立成分。該算法的具體步驟如下： (1) 對(duì)工業(yè)過程觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使其均值為 0 (2) 對(duì)中心化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行白化得到 z (3) 選取獨(dú)立成分分量的個(gè)數(shù)等于觀測變量的個(gè)數(shù)，即令 nm? ，令 1?p (4) 選擇具有單位范數(shù)的初始化向量 pw (可隨機(jī)選取 ) (5) 更新 pw ： ? ?? ? ? ?? ? pTpTpp wzwzgEzwzgEw 39。?? ，其中 g 是已定義好的 G 函數(shù) (6) 進(jìn)行下面的正交化： ? ? jpj jTppp ww ????? 11 (7) 標(biāo)準(zhǔn)化 pw ，即 ppp ? (8) 如果 1?pTpww ，則輸出 pw ，否則返回第 4 步 (9) 1??pp ,如果 mp? ，返回第 3 步 該算法收斂速度快，對(duì)快速 ICA 算法的缺點(diǎn)，初值選擇的敏感性，通過增加 初值的選取次數(shù)來避免因隨機(jī)選取初值而導(dǎo)致的計(jì)算結(jié)果不收斂的問題。天津大學(xué)仁愛學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 第三章 小波降噪 獨(dú)立成分分析方法分析 獨(dú)立成分分析 (ICA)是盲源信號(hào)分析 [22]中一種重要的信號(hào)分析方法，已逐步用于信號(hào)處理等領(lǐng)域。由于沒有考慮實(shí)際工業(yè)過程中噪聲污染，采用傳統(tǒng)的基于獨(dú)立成分分析的過程性能監(jiān)控方法已遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到過程監(jiān)控要求的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性的要求，本章提出小波分析和獨(dú)立成分分析相結(jié)合的基于小波降噪獨(dú)立成分分析過程監(jiān)控方法，主要介紹該方法的原理和基本步驟，并對(duì)算法進(jìn)行仿真研究。 工業(yè)過程數(shù)據(jù)不可避免的受到過程噪聲、熱噪聲等噪聲的 污染，使得過程觀測數(shù)據(jù)的信噪比降低，嚴(yán)重影響過程監(jiān)控結(jié)果 [23]。直接對(duì)受到污染的過程觀測信息進(jìn)行分析，必然會(huì)導(dǎo)致較高的漏報(bào)和誤報(bào)率，使監(jiān)控結(jié)果置信度下降，進(jìn)而導(dǎo)致基于傳統(tǒng)特征信號(hào)提取過程監(jiān)控方法性能下降。同時(shí)，過程觀測信息的噪聲污染對(duì)信號(hào)的重構(gòu)相當(dāng)不利，因而提取特征信號(hào) (獨(dú)立成分 )前盡可能地去除噪聲就顯得相當(dāng)?shù)闹匾?。本章主要利用小波變換的多分辨率分析的特性對(duì)過程觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行 降噪 處理，在保留過程特征信號(hào)的基礎(chǔ)上剔除噪聲和不相關(guān)信息，減少真是過程信息的流失。在此基礎(chǔ)上對(duì) 降噪 后的過程信息進(jìn)行獨(dú)立成分分析 ，建立優(yōu) 化的 ICA 模型，完成對(duì)生產(chǎn)過程的在線監(jiān)控。 小波變換的基本理論 小波變換屬于時(shí) 頻分析的一種，同傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換類似，都是將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)化到頻域?qū)崿F(xiàn)對(duì)信號(hào)的分析 [24]。但是小波分析克服了傅里葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率的特點(diǎn)，在時(shí)域和頻域都有表征信號(hào)局部信息的能力，其窗口大小固定不變但是其形狀可以改變即時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)動(dòng)態(tài)調(diào)整，在一般情況下，在低頻部分（信號(hào)較平穩(wěn)）可以采用較低的時(shí)間分辨而提高頻率的分辨率，在高頻的情況下（頻率變化不大）可以采用較低的頻率 分辨率來換取精確的時(shí)間定位（即低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，高頻部分具有較高是時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率 )，因此小波分析對(duì)信號(hào)具有自適用性，被廣泛應(yīng)用于時(shí) 頻分析領(lǐng)域。 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?RLt 2?? 滿足條件： ? ? ??? ????dwwwC2^?? (31) 則稱 ??t? 為基小波，式中 ??w^? 為 ??t? 的傅里葉變換。對(duì)基小波進(jìn)行尺度變換及平移后可得小波函數(shù)： ? ?ataba ??? ?? 21, ，式中 a， ? 分別為小波尺度參數(shù)和平移參數(shù)。 小波變換含義是：把小波基函數(shù) ??t? 在不同尺度 a 做平移 ? 后得到的小波函數(shù)天津大學(xué)仁愛學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 ? ?ataba ??? ?? 21, 與待分析信號(hào) ??tx 做 內(nèi)積 : ? ? ? ? ? ? ? ? dtattxttxaWT bax ?????? ??? ????????????? *,* 1, (32) 小波逆變換為： ? ? ? ? ? ?? ???????? dbtbawxadaCaWT bax ,2 ,1, ??? (33) 式中 *表示共軛。對(duì) 小波函數(shù)中的尺度參數(shù)和平移參數(shù)進(jìn)行離散 化，即另Zkjkba jj ???? ,2,2 ,Z 為整數(shù)集，便可以得到相應(yīng)信號(hào)的離散小波變換對(duì)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換，可以將信號(hào) ??tx 的頻域特性劃分在不同的頻帶上，圖 為利用二進(jìn)小波函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解的結(jié)果， ii DA, 分別為小波變換后得到的近似信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)。若用二進(jìn)制小波函數(shù)進(jìn)行分解，則變換深度每增加一層，分解后的子信號(hào)頻寬減半。 X ( n )A1D1A2D2D3A3 圖 信號(hào)的多尺度分解圖 小波降噪的基本原理 含有噪聲的一維信號(hào)的模型如下： ? ? ? ? ? ?nenfnx ??? (34) 其中 ??nf 代表真實(shí)信號(hào)函數(shù)， ??ne 為噪聲信號(hào)， ? 為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差， ??nx 為含噪信號(hào)，在簡單的情況下可以假設(shè) ??ne 為高斯噪聲且 ? =1。在工程實(shí)際中，噪聲信號(hào)通常表現(xiàn)為高頻信號(hào)，而有用的信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻部分信號(hào) ，實(shí)際的含噪聲信號(hào)的上述特點(diǎn)為利用小波變換消噪提供了前提條件。對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解時(shí)，信號(hào)的頻域特性被劃分為不同的頻帶，含噪聲部分主要包含在細(xì)節(jié)系數(shù)中，對(duì)于各個(gè)頻段的子信號(hào)可以采用閾值等形式對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)即可達(dá)到消噪的目的。對(duì) ??nx 消噪的目的就是抑制噪聲信號(hào) ??ne 以恢復(fù)真是信號(hào) ??nf 。 從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)來看，這個(gè)模型是一個(gè)隨時(shí)間推移的回歸模型，這種分解方法也是可以看作在正交 基上對(duì)函數(shù) f 的無參估計(jì) [25]。 在這個(gè)噪聲模型下，一維信號(hào)的降噪過程如下： 天津大學(xué)仁愛學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 x ( n ) 小 波 域 表 示小 波 變 換各 個(gè) 尺 度 小 波 系 數(shù)的 消 噪 處 理小 波 系 數(shù) 重 構(gòu) 圖 小波變換的降噪流程圖 一般而言，一維信號(hào)降噪過程的基本步驟如下： (1)信號(hào)的小波分解。選擇合適的小波基對(duì)信號(hào)進(jìn)行 N 層分解 (2)小波分解系數(shù)的閾值量化。選擇適當(dāng)?shù)拈撝祵?duì)各個(gè)分解尺度下的高頻小波系數(shù)進(jìn)行閾值量化。 (3) 信號(hào)小波重構(gòu)。根據(jù)小波分解的低層低頻系數(shù)和各層高頻系數(shù)進(jìn)行一維小波重構(gòu)。 小波變換去噪的關(guān)鍵是各頻段中信號(hào)的選擇問題，在小波分析用于降 噪的過程中，核心步驟就是小波分解系數(shù)的閾值量化。 一般閾值量化有兩種方法，硬閾值方法和軟閾值方法 1. 硬閾值方法 (35) 式中： T 為消噪的小波閾值 硬閾值方法的缺點(diǎn)是可能在濾除噪聲的同時(shí)濾除一些有用的信號(hào)，以致在某些點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生間斷。 2. 軟閾值量化方法 (36) 式中： T 為消噪的小波閾值 軟閾值 的方法通過稍微減少所有系數(shù)的幅值來減少所加的噪聲，在一定程度上降低了取閾值的風(fēng)險(xiǎn)，盡可能的保留了原始信號(hào)中的瞬變信號(hào)。 不管是利用硬閾值量