【導(dǎo)讀】師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加。而使用過(guò)的材料。均已在文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文。不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果作品。究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)大學(xué)可以將本學(xué)位。印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。：理工類(lèi)設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬(wàn)字，文科類(lèi)論文正文字?jǐn)?shù)不少于萬(wàn)字。合國(guó)家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書(shū)寫(xiě)，不準(zhǔn)用徒。它對(duì)傅氏變換的理論并沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)，但是對(duì)于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說(shuō)。數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說(shuō)是進(jìn)了一大步。習(xí)掌握都有著非常大的意義。

　　

【正文】 卷積 已知 [ ] [ ]nx n u n? ，其中 []un為單位階躍序列，信號(hào) []yn 如圖 44所示。由于當(dāng) 16n? 時(shí)， []xn 很小，故 M 可以取為 17； N取 10， 1 26L M N? ? ? ?。 利用下面的 Matlab 命令，可得到 []xn 、 []yn 的卷積圖形如圖 44所示。 subplot(3,1,1)。 n=0:16。 x=.^n。 stem(n,x)。 xlabel(39。n39。)。ylabel(39。x[n]39。)。 subplot(3,1,2)。 n=0:15。 y=[ones(1,10) zeros(1,6)]。 stem(n,y)。 xlabel(39。n39。)。ylabel(39。y[n]39。) subplot(3,1,3)。 L=26。n=0:L1。 X=fft(x,L)。Y=fft(y,L)。 Z=X.*Y。z=ifft(Z,L)。 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 18 stem(n,z)。 xlabel(39。n39。)。ylabel(39。z[n]39。) 圖 44 信號(hào) x[n]、 y[n]及其卷積 z[n]=x[n]*y[n] 利用下面的 Matlab 命令，可得到信號(hào) x[n]、 y[n]的幅度譜與相位譜如圖 45所示。 subplot(2,2,1)。 L=26。k=0:L1。 n=0:16。x=.^n。X=fft(x,L)。 stem(k,abs(X))。 axis([0 25 0 5])。 xlabel(39。k39。)。ylabel(39。|X[k]|39。) subplot(2,2,2)。 stem(k,angle(X))。 axis([0 25 1 1])。 xlabel(39。k39。)。ylabel(39。Angle(X[k])(弧度 )39。) subplot(2,2,3)。 y=ones(1,10)。Y=fft(y,L)。 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 19 stem(k,abs(Y))。 axis([0 25 0 10])。 xlabel(39。k39。)。ylabel(39。|Y[k]|39。) subplot(2,2,4)。 stem(k,angle(Y))。 axis([0 25 3 3])。 xlabel(39。k39。)。ylabel(39。Angle(Y[k])(弧度 )39。) 圖 45 信號(hào) x[n]、 y[n]的幅度譜與相位譜 FFT 進(jìn)行離散信號(hào)壓縮 利用 FFT算法對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行壓縮的步驟如下： 1）通過(guò)采樣將信號(hào)離散化；2）對(duì)離散 化信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換； 3）對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行處理，將絕對(duì)值小于某一閾值的系數(shù)置為 0，保留剩余的系數(shù)； 4）利用 IFFT 算法對(duì)處理后的信號(hào)進(jìn)行逆傅里葉變換 [13]。 例 43 對(duì)單位區(qū)間上的下列連續(xù)信號(hào) 1( ) c o s ( 4 ) s in ( 8 )2f t t t t??? ? ? 以 256sf Hz? 采樣頻率進(jìn)行采樣，將其離散化為 82 個(gè)采樣值 [ ] ( ) | ( ) ( / 2 5 6 ) ,t n Tf n f t f n T f n?? ? ?0,1, 2, , 255n ? 用 FFT 分解信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波壓縮，然后重構(gòu)信號(hào)。令絕對(duì)值最小的80%系數(shù)為 0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖 46a)所示，均方差為 ，相對(duì)誤差武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 20 為 ；令絕對(duì)值最小的 90%系數(shù)為 0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖 46b)所示，均方差為 ，相對(duì)誤差為 。 a) 絕對(duì)值最小的 80%系數(shù)為 0 的重構(gòu)信號(hào)（ FFT） b) 絕對(duì)值最小的 90%系數(shù)為 0 的重構(gòu)信號(hào)（ FFT） 圖 46 用 FFT壓縮后的重構(gòu)信號(hào) 相關(guān) Matlab 程序如下 : function wc=press(w,r) %壓縮函數(shù) %輸入信號(hào)數(shù)據(jù) w,壓縮率 r %輸出壓縮后的信號(hào)數(shù)據(jù) if(r0)|(r1) error(39。r 應(yīng)該介于 0和 1之間 !39。)。 end。 N=length(w)。 Nr=floor(N*r)。 ww=sort(abs(w))。 tol=abs(ww(Nr+1))。 wc=(abs(w)=tol).*w。 function [unbiased_variance,error]=fftp(t,y,r) %利用 FFT 做離散信號(hào)壓縮 %輸入 時(shí)間 t,原信號(hào) y,以及壓縮率 r if(r0)|(r1) error(39。r 應(yīng)該介于 0和 1之間 !39。)。 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 21 end。 fy=fft(y)。 fyc=press(fy,r)。 %調(diào)用壓縮函數(shù) yc=ifft(fyc)。 plot(t,y,39。r39。,t,yc,39。b39。)。 legend(39。原信號(hào) 39。,39。重構(gòu)信號(hào) 39。)。 unbiased_variance=norm(yyc)/sqrt(length(t))。 error=norm(yyc)/norm(y)。 輸入以下 Matlab 命 令： t=(0:255)/256。 f=t+cos(4*pi*t)+1/2*sin(8*pi*t)。 [unbiased_variance,error]=fftp(t,f,) unbiased_variance = error = 如果用 Harr 尺度函數(shù)和 Harr 小波分解信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波壓縮，然后重構(gòu)信號(hào)。令絕對(duì)值最小的 80%系數(shù)為 0，得到重構(gòu)信號(hào)圖形如圖 47a)所示，均方差為 ，相對(duì)誤差為 ；令絕對(duì)值最小的 90%系數(shù)為 0，得到重構(gòu) 信號(hào)圖形如圖 47b)所示，均方差為 ，相對(duì)誤差為 。 a) 絕對(duì)值最小的 80%系數(shù)為 0 的重構(gòu)信號(hào)（ Harr） b) 絕對(duì)值最小的 90%系數(shù)為 0 的重構(gòu)信號(hào)（ Harr） 圖 47 用 Harr小波壓縮后的重構(gòu)信號(hào) 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 22 相關(guān) Matlab 程序如下 function [unbiased_variance,error]=daubp(t,y,n,r) %利用 Daubechies 系列小波做離散信號(hào)壓縮 %輸入時(shí)間 t,原信號(hào) y,分解層數(shù) n,以及壓縮率 r %輸出原信號(hào)和壓縮后重構(gòu)信號(hào)的 圖像 ,以及重構(gòu)均方差和相對(duì) l^2誤差 if(r0)|(r1) error(39。r 應(yīng)該介于 0和 1 之間 !39。)。 end。 [c,l]=wavedec(y,n,39。db139。)。 cc=press(c,r)。 %調(diào)用壓縮函數(shù) yc=waverec(cc,l,39。db139。)。 plot(t,y,39。r39。,t,yc,39。b39。)。 legend(39。原信號(hào) 39。,39。重構(gòu)信號(hào) 39。)。 unbiased_variance=norm(yyc)/sqrt(length(t))。 error=norm(yyc)/norm(y)。 輸入以下 Matlab 命令： =(0:255)/256。 f=t+cos(4*pi*t)+1/2*sin(8*pi*t)。 [unbiased_variance,error]=daubp(t,f,8,) unbiased_variance = error = 結(jié)論：在信號(hào)沒(méi)有突變、快變化或者大致上具有周期性的信號(hào)，用 FFT 可以處理得很好（甚至比小波還要好）。 4. 4 利用 FFT對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行濾波 利用 FFT算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波的步驟如下： 1）通過(guò)采樣將信號(hào)離散化； 2）對(duì)離散化信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換； 3）對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行處理，將絕對(duì)值大于某一閾值的系數(shù)置為 0，保留剩余的系數(shù)； 4）利用 IFFT 算法對(duì)處理后的信號(hào)進(jìn)行武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 23 逆傅里葉變換 [14]。 例 44 對(duì)被白噪聲污染的信 ? ? ? ?2/150c o ???? ????? tt進(jìn)行頻譜分析，從中鑒別出有用的信號(hào)。要求：將信號(hào)的幅度換算成實(shí)際的幅度，信號(hào)的頻率換算成實(shí)際的頻率。 相關(guān) Matlab 程序如下 fs=1000。%采樣頻率 N=512。%數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) n=0:N1。 randn(1,N)。 t=0:1/fs:(N1)/fs。%采樣時(shí)間序列 f0=100。%信號(hào)頻率 x=2+3*cos(100*pi*tpi/6)+(3/2)*cos(150*pi*t+pi/2)。 subplot(3,1,1)。 plot(t,x)。 xlabel(39。t39。)。 ylabel(39。sin(2+3*cos(100*pi*tpi/6)+(3/2)*cos(150*pi*t+pi/2))39。)。 title(39。時(shí)域信號(hào) 39。)。 Y=fft(x,N)。%對(duì)信號(hào)進(jìn)行 FFT 變換 magY=abs(Y)。%求得 FFT 變換后的幅度 angY=angle(Y)*180/pi。%求得 FFT 變換后的相位 f=n*fs/N。%頻率序列 subplot(3,1,2)。 plot(f,magY)。%畫(huà)出幅頻響應(yīng) xlabel(39。f39。)。 ylabel(39。幅度 39。)。 title(39。N=51239。)。 grid。 subplot(3,1,3)。 plot(f,angY)。%畫(huà)出相頻響應(yīng) 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 24 xlabel(39。f39。)。 ylabel(39。相位 39。) title(39。N=51239。)。 grid。 圖 48 濾波信號(hào)的相位，幅度 利用 FFT提 取離散信號(hào)中的最強(qiáng)正弦分量 這里最強(qiáng)是指在信號(hào) [ ], 0 ,1, , 1x n n N??中某個(gè)正弦分量的振幅遠(yuǎn)大于其它正弦分量的振幅?？梢詫?duì) []xn 求 N 點(diǎn) DFT 來(lái)確定信號(hào)中是否有最強(qiáng)的正弦分量。如果信號(hào) ()xt 是連續(xù)時(shí)間形式的，首先還要對(duì)其進(jìn)行抽樣，得到離散時(shí)間形式的信號(hào) [ ] ( ) | ( )t n Tx n x t x n T???，根據(jù) Nyquist定理，抽樣間隔 T 應(yīng)滿(mǎn) max/T ??? ，其中 max? 是 ()xt 中的最大頻率分量。要判斷信號(hào) []xn 中是否包含最強(qiáng)正弦分量，采樣數(shù)據(jù)至少要包含該分量一個(gè)完整周期的數(shù)據(jù) [15]。 例 45 太陽(yáng)耀斑數(shù)據(jù)的分析 太陽(yáng)耀斑活動(dòng)的周期是 11 年，這個(gè)事實(shí)可以 通過(guò)提取耀斑數(shù)據(jù)的最強(qiáng)正弦 分量加以證實(shí)。耀斑數(shù)據(jù)可以從比利時(shí)皇家天文臺(tái) (Royal Observatory of Belgium)太陽(yáng)耀斑數(shù)據(jù)索引中心（ Sunspot Index Data Center, SIDC）網(wǎng)站下載。網(wǎng)址是： 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū) 25 下載后的數(shù)據(jù)存放在文件“ ”中，里面有四列數(shù)據(jù)，第一年是日期，第三列是太陽(yáng)耀斑的平均數(shù)，第四列平滑后太陽(yáng)耀斑的平均數(shù)，可以得到從 1749 年到當(dāng)前年月（ 2020 年 4 月）的耀斑數(shù)據(jù)。本次分析選擇第 三列 1981年 1 月作為開(kāi)始日期， 2020 年 12 月作為結(jié)束日期，共 25 年 300 個(gè)月份的數(shù)據(jù)。為此先把相關(guān)數(shù)據(jù)復(fù)制到 Excel 表格的第一列中，然后保存到 Matlab 所在目錄下，并命名為“ ”。然后輸入以下命令，得到耀斑曲線(xiàn)如圖 9所示 [16]。 spd=csvread(39。39。,0,0,[0 0 299 0])。 plot(spd)。 grid。 xlabel(39。月數(shù) 39。)。ylabel(39。耀斑平均數(shù) 39。)。 axis([0 300 0 200]) 圖 49 1981年 1月至 2020年 12月太陽(yáng)耀斑的平均數(shù) 由上圖可見(jiàn)，太陽(yáng)耀斑的活動(dòng)確實(shí)具有周期性，但周期的準(zhǔn)確值不明顯。可以通過(guò)數(shù)第一個(gè)峰值和第二個(gè)峰值之間的月份來(lái)估計(jì)周期的值。查驗(yàn)表中的數(shù)據(jù)得，第一個(gè)峰值為 ，出現(xiàn)在第 116 個(gè)月（ 1990 年 8 月），第二個(gè)峰值為 ，出現(xiàn)在第 235個(gè)月（ 2020 年 7月），所以周期是 235116=119 月，和實(shí)際值 132月比較接近。 武漢工程大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )說(shuō)明書(shū)