三級方陣的平方根問題-資料下載頁
2025-08-12 20:11本頁面
【導讀】求一種新的研究方法，本方法對一般的n級方陣的平方根研究有著某些啟發(fā)作用。矩陣方程是矩陣研究領域的一個重要方向。2矩陣平方根的存在性問題及一般求法[2]，比較完整地解決了一般2×2矩陣。等類型方陣的平方根問題進行了研究。文獻中的結(jié)論也是錯誤的，下文中我們將構(gòu)造反例否定其結(jié)論。向，至今未見比較好的結(jié)果。加強本問題的研究具有一定的理論意義及應用價值。問題的討論，分析其錯誤原因，據(jù)此構(gòu)造一些反例。引理1設方陣A的Jordan標準形為diag??均為Jordan塊，則A存在平方根的充分必要條件為diag??12,,,mJJJ有平方根C，即。，比較兩矩陣的對應元素，得。）式一定有平方根，且僅有兩個平方根。是一個特征值為?則J能開平方的充要條件是1m?證明設B可對角化，則存在可逆矩陣P使得112{,,}nPBPDdiagddd???矩陣B的平方根的討論，可以轉(zhuǎn)化為對所有三級Jordan標準形的平方根
【正文】 它一定存在平方根，證明較為煩瑣。下面用我們的方法給出一種簡單證明，并提供求這類矩陣的平方根的一種實用方法。 所謂上三角形托普勒茲矩陣，是指形如 1 2 12111na a aT aa?????????? 的上三角矩陣。 由于上三角形托普勒茲矩陣 T 的行列式為 1，故矩陣 T 可逆， 由前面的定理 1即得 T 存在平方根。 我們 引入 9 F?0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 10 0 0 0 0???????? 則任何上三角形托普勒茲矩陣 T 可以表為形式： 211 2 1 nnT E a F a F a F ??? ? ? ? ?。 由此可知上三角形托普勒茲矩陣之積還是上三角形托普勒茲矩陣，下面以例子的形式說明它有唯一的一個仍是托普勒茲矩陣的平方根及求法。 例 1 已知1 4 1 0 80 1 4 1 00 0 1 40 0 0 1A?????????，求其上三角托普勒茲平方根 X . 解 234 10 8A E F F F? ? ? ?，設 231 2 3X E x F x F x F? ? ? ?，使得 2XA? ，即 2 3 2 2 31 2 3( ) 4 10 8E x F x F x F E F F F? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 31 1 2 3 1 22 ( 2 ) ( 2 2 )E x F x x F x x x F? ? ? ? ?= 234 10 8E F F? ? ? 由于 23, , ,E F F F 線性無關(guān)，因此，有 12123 1 2242 102 2 8xxxx x x??????? ??? 方程組有唯一解為： 1 2 32 , 3, 2x x x? ? ? ?，于是 1 2 3 20 1 2 30 0 1 20 0 0 1X?????????? 10 致謝 ： 非常 感謝我的 指導老師胡付高老師，在我的論文選題、論文撰寫整 個過程中，胡老師都給予我極大幫助。在此我非常感謝胡老師 給予 的真誠 關(guān)心與幫助 ! 同時感謝在百忙中審稿和答辯的各位老師們！ [參考文獻 ] [1] Mackinnon routes to matric[J].Math Gaz,1989,73: 135136. [2] Sullvan squarerooting matrices of 2? 2 matrices [J].Math Gaz,1993,77: 4243. [3] 劉漢忠 . 2? 2 矩陣的平方根 [J]. 數(shù)學通報 ,1996,4: 4243 [4] 朱德高 . 一個 Jordan 塊的平方根矩陣 [J]. 數(shù)學物理學報 ,1999,19(3): 318327. [5] 朱德高 .具有兩個 Jordan 塊的 Jordan 標準形的平方根矩陣 [J]. 數(shù)學物理 學 報 ,2020,20(4): 451460 [6] 吳小明 . 關(guān)于一般情形的 Jordan 標準形的平方根矩陣 [J]. 中南大學學報 (自然科學 版 )， 2020,35 (2):345347 [7] 胡結(jié)梅 . 二階方陣的平方根和三角方陣的三角平方根 [J]. 數(shù)學通報 ,1997,11: 3536 [8] 侯識忠 .一個方陣有平方根的充分條件 [J]. 煙臺師范學院學報 (自然科學版 ),1994,10 (1): 1417. [9] 李祥明 .復數(shù)域上方陣的平方根 [J]. 煙臺師范學院學報 (自然科學版 ),1995,11 (1): 1015. [10] 劉炳文 . 三角形托普勒茲矩陣的一類平方根 [J]. 常德師范學院學報 ,1999,20(3)： 1415 [11] 賈利新 ,劉素榮 .具有相同特征值的三 階方陣的平方根 [J]. 河南科學 ,1999,17(4):347351
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