三級方陣的平方根問題(已修改)
2024-09-06 20:11 本頁面
【正文】 1 三級方陣的平方根問題 摘要 ： 本文研究了三級方陣的平方根問題，指出了并修正了現(xiàn)行一些文獻(xiàn)中的錯誤，尋求一種新的研究方法，本方法對一般的 n 級方陣的平方根研究有著某些啟發(fā)作用。 關(guān)鍵詞： 矩陣；平方根； Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 Three grade matrix of the square root problem LIU Juan (Department Mathematics of Xiaogan university 021114121, Xiaogan Hubei 432100 China) Abstract: This article researches the square root of three grade matrix, and points out that some of the existing literature mistakes and seek a new research method, the general method for the square root level phalanx some research has inspired. Keywords: matrix。 Square root 。Jordan standards . １ 引言及定義 矩陣方程是矩陣研究領(lǐng)域的一個重要方向。一些研究者研究了矩陣的開平方2 問題，如 給出了 4 種求可對角化矩陣平方根方法 [1]， 研究了 2?2 矩陣平方根的存在性問題及一般求法 [2]，比較完整地解決了一般 2 2 矩陣的平方根問題，有關(guān)詳細(xì)結(jié)果可參見文獻(xiàn) [2]或其譯文 [3]；朱德高就含有 1 個和2 個 Jordan 塊的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的平方根問題進(jìn)行了研究 ［ 4－ 5］ ；吳小明就一般情形下 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的平方根的某些 問題進(jìn)行了討論 [6]。 定義 1[4] 若 2BA? ，那么方陣 B 就稱為 A 的平方根。 一般而言，對任意 n 級方陣的平方根的兩個主要問題，即判斷其存在性及如何求平方根問題，至今還未完全解決，許多文獻(xiàn)僅就某些特殊情形如可逆陣，可對角化陣進(jìn)行了討論，文獻(xiàn) [46]對 Jordan 塊，文獻(xiàn) [10]對三角形托普勒茲矩陣等類型方陣 的平方根問題進(jìn)行了研究。另外文獻(xiàn) [9]討論了三角平方根問題，得到了一個一般性結(jié)論，經(jīng)過分析，我們發(fā)現(xiàn)其結(jié)論是錯誤的，實際上 [7]、 [8]等文獻(xiàn)中的結(jié)論也是錯誤的，下文中我們將構(gòu)造反例否定其結(jié)論。 關(guān)于方陣的平方根問題，完全獲得解決的是關(guān)于正定陣及半正定陣的平方根問題，一般方陣的平方根問題是現(xiàn)階段矩陣論研究中為許多人比較關(guān)注的一個方向，至今未見比較好的結(jié)果。加強(qiáng)本問題的研究具有一定的理論意義及應(yīng)用價值。 本文將重點研究三級方陣的平方根問題，一種原因是現(xiàn)有的 2? 2 矩陣平方根研究手段并不適合于三級方陣，需要尋求一種新的研究方法，而且該方法對一般的 n 級方陣的平方根研究有著某些啟發(fā)作用，另一原因是現(xiàn)行文獻(xiàn)中的某些結(jié)論僅對二級方陣成立，但對三級及更高級方陣并不成立，通過對三級方陣的平方根問題的討論，分析其錯誤原因，據(jù)此構(gòu)造一些反例。 2 定理與證明 下面引理將指出，對任一方陣的平方根的討論都可以轉(zhuǎn)化為 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的討論。 引理 1 設(shè)方陣 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為 diag? ?12, , , mJ J J ，這里 iJ （ 1,2, ,im? ） 均為 Jordan塊，則 A 存在平方根的充分必要條件為 diag? ?12, , , mJ J J 存在平方根。 3 證明 設(shè) 11mJP A PJ????????，若 A 存在平方根 B ，即 2BA? ，則 11 1 2 1 2()mJP A P P B P P B PJ? ? ?????? ? ???． 反之，若
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