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2數(shù)理邏輯-資料下載頁

2025-08-12 08:30本頁面

【導(dǎo)讀】命題statement:可以判斷真假的陳述.吃兩片阿斯匹林!土星表面溫度是華氏800度。用邏輯連接詞可以將若干命題聯(lián)接成復(fù)合命題。明天不會出太陽,除非2+3=5。單個命題變元是命題公式。,左邊高于右邊。A可以記作A(p,q),p,q是A中變元.p1σ=0,p2σ=1,p3σ=1,p3σ=0,……一個賦值對應(yīng)于命題變元的一種真假取值。n個變元共有2n種不同的賦值。無論命題變元取什么值,命題公式取值都是0(假)的公式。對任意賦值σ,Aσ=0,A就是恒假式。存在賦值σ,Aσ=1,A就是可滿足的。命題公式A,B具有相同的真值表。證明下列公式都是恒真式:。但pσ不可能同時取值1和0,矛盾??梢詫⒁粋€公式化簡,或化為某種特定形式。不含聯(lián)結(jié)詞→,?

  

【正文】 = ||1iniA??+|An+1| || 11??niniAA ?? = ||1iniA??+|An+1| |)(| 11??niniAA ?? = ?? ?? ??? ??nji jijinii AAA1,1|||| ????????? ????niiiikiikkAAA1,21112,1||)1(||)1( 211 nn AAA ??????? +|An+1|????? ?? ??? ?????nji jinjninini AAAAAA1,1111 ||||( ?????????? ?????niiinikiikkAAAA1,121112,1||)1(|)|)1( 1211 ???? nnn AAAA ????? = ?? ?? ?? ?? ???11,11|||| nji jijinii AAA ????????? ?????11,21112,1||)1( niiiikiikkAAA||)1( 121 ??? nn AAA ???? 例 3 Function SQ(A) 1. C?0 2. D?0 (D?A) a. C?C+A b. D?D+1 4. Return(C) End of Function SQ 解 . 先猜測結(jié)果 第一輪 C1=A , D1=1 第二輪 C2=A+A=2A, D2=2 第三輪 C3=2A+A=3A, D3=3 猜 Cn=DnA 證明 設(shè) Ck=DkA, 則 Ck+1=Ck+A=DkA+A =( Dk+ 1)A= Dk+1A 所以 Cn=DnA 程序終止時 C=Cn, D=Dn =A. C=A*A=A2. 例 4.證明以下程序得到 X,Y的最大公約數(shù) Function GCD(X,Y) While (X?Y) If(XY)Then 1. X?XY b) Else 1. Y?YX 2. Return(X) End of Function GCD 證明 令 X0=X, Y0=Y Xk+1=XkYk?0 Yk+1=YkXk?0 返回值為 Xn=Yn 我們有 1) GCD(X0,Y0)=GCD(X,Y) 2) GCD(Xk+1,Yk+1) = GCD(Xk,Yk) 由歸納法對任意 n , GCD(Xn,Yn)= GCD(X,Y) 當 Xn=Yn 時, GCD(Xn,Yn)=Xn。 所以返回值即 GCD(X,Y)。 第一歸納法的推廣 關(guān)于整數(shù)的一個性質(zhì) P(x), 如果有 a) P(n0)成立, n0?Z b) P(k)?P(k+1), k?n0. 則 ? n?n0P(n)成立。 例 4. 證明存 在 n0?Z,使 ? n? n0 (2nn3) 2 第二歸納原理 如果 A?N, A 是自然數(shù)集合 N的具有以下性質(zhì)的子集: a) 0∈ A b) ? sk(s∈ A)?k∈ A 那么 A=N 證明 . 我們只要證明 A =?。 設(shè) A ??, 由 N是歸納集, A 有最小元 k, k A? , k A? . 由 a) 有 k0。并且 ? sk(s?A , 于是有 ? sk(s∈ A)。 由 b)有 k?A,得到矛盾。 因此 A =?, A=N。 第二歸納法 strong form of mathematical induction, Strong Induction 關(guān)于自然數(shù)的一個性質(zhì) P(x), 如果有 a) P(0)成立, b) ? skP(s)?P(k), 則 ? nP(n)成立。 證明 . 令 A={n?N | ~P(n)},則 A?N. 我們只要證明 A=?。 設(shè) A??, 由 A是歸納集, A有最小元 k, ~P(k). 由 a) 有 k0。 于是有 ? skP(s)成立 . 由 b)有 P(k)成立,得到矛盾。 因此 ? nP(n) 成立。 第二歸納法的推廣: 關(guān)于整數(shù)的一個性質(zhì) P(x), 如果有 n0?Z使 c) P(n0)成立, d) ? s?Z (n0?sk?P(s))?P(k), 則 ? n ?n0P(n)成立。 例 6. 每個大于 1 的正整數(shù) n都能唯一地表示為素因子的乘積: n= p1?1p2?2…… ps?s, 其中 p1p2…… ps 都是素數(shù)。 a) n=2 時命題成立,因 為 2 是素數(shù)。 b) 設(shè) n=2,3,…… ,k1 時命題真。 我們證明 n=k 時也真。 i 如果 k 是素數(shù),命題成立。 ii 如果 k 不是素數(shù), k=lm, 2?l?k1, 2?m?k1. 對 l,m 命題成立 : l= q1?1q2?2…… qu?u, m= t1?1t2?2…… tv?v, 則 k=lm= q1?1q2?2…… qu?u t1?1t2?2…… tv?v = p1?1p2?2…… ps?s。 如果 pi=qj , ?i=?j。 如果 pi=tw , ?i=?w。 如果 pi=qj=tw , ?i=?j +?w. 由 l, m 唯一分解,知 k 唯一分解。 歸納完成,因此任意大于 1 的正整數(shù)都有唯一分解。 例 7. 設(shè) A(p1,p2,…… ,pn)是一個不含聯(lián)結(jié)詞 ?, ?的命題公式, A*是 A的對偶公式,則 1) A(~p1,~p2,…… ,~pn) ?~A*(p1,p2,…… ,pn) 2) A?B當且僅當 A* ?B* 證明 1) 對公式的復(fù)雜性 (聯(lián)結(jié)詞的 個數(shù) n)歸納, n=0, 即公式 A(p1,p2,…… ,pn)= pi, 是單個命題變元沒有聯(lián)結(jié)詞 . A(~p1,~p2,…… ,~pn)= ~pi ~A*(p1,p2,…… ,pn)= ~pi. 設(shè)對少于 k 個聯(lián)結(jié)詞的命題公式, 1)都成立。我們證明對有 k 個聯(lián)結(jié)詞的命題公式, 1)也成立。 設(shè) A有 k 個命題聯(lián)結(jié)詞。 情形 i) A=~B。這時 A*=~B*, B所含聯(lián)結(jié)詞少于 k 個,歸納假設(shè) 1)對 B成立。 A(~p1,~p2,…… ,~pn)=~B(~p1,~p2,…… ,~pn) ?~~B*(p1,p2,…… ,pn) ?~ A*(p1,p2,…… ,pn) 情形 ii) A=B?C。這時 A*=B*?C*, B,C所含聯(lián)結(jié)詞少于 k 個,歸納假設(shè) 1)對 B,C都成立。 A(~p1,~p2,…… ,~pn) =B(~p1,~p2,…… ,~pn)?C(~p1,~p2,…… ,~pn) ?~ B*(p1,p2,…… ,pn)?~C*(p1,p2,…… ,pn) ?~(B*(p1,p2,…… ,pn)?C*(p1,p2,…… ,pn)) ?~A*(p1,p2,…… ,pn) 情形 iii)A=B?C. 這時 A*=B*?C*, B,C所含聯(lián) 結(jié)詞少于 k 個,歸納假設(shè) 1)對 B,C都成立。 A(~p1,~p2,…… ,~pn) =B(~p1,~p2,…… ,~pn)?C(~p1,~p2,…… ,~pn) ?~ B*(p1,p2,…… ,pn)?~C*(p1,p2,…… ,pn) ?~(B*(p1,p2,…… ,pn)?C*(p1,p2,…… ,pn)) ?~A*(p1,p2,…… ,pn) 歸納完成,因此 1)對任意不含聯(lián)結(jié)詞 ?, ?的命題公式成立。 2)可以由 1)推出: 由 1) A(~p1,~p2,…… ,~pn) ?~A*(p1,p2,…… ,pn) A*(p1,p2,…… ,pn) ?~A(~p1,~p2,…… ,~pn) B*(p1,p2,…… ,pn) ?~B(~p1,~p2,…… ,~pn) A(p1,p2,…… ,pn) ? B(p1,p2,…… ,pn) ~A(~p1,~p2,…… ,~pn) ?~B(~p1,~p2,…… ,~pn) 因此 2)成立。 3 雙重歸納法 關(guān)于自然數(shù)的一個性質(zhì) P(x, y), 如果有 a) P(0,0)成立, b) P(s,t) ?P(s+1,t) ?P(s,t+1) 則 ? xyP(x,y) 成立。 證明 1) ? xP(x,0)成立: a) P(0,0)成立, b) P(s,0) ?P(s+1,0) 由第一歸納法 ? xP(x,0) 成立。 2) ? x P(x,t) ?? x P(x,t+1) a) P(x,t)成立 b) P(x,t) ?P(x,t+1) 由第一歸納法 ? xyP(x,y) 成立。 Homework 補 : 設(shè) A(p1,p2,…… ,pn)是一個命題公式, B1, B2,…… , Bn都是命題公式, 則分別用 Bi代換 A中所有 pi得到的 表達式 A( p1/B1,p2/ B2,…… ,pn/Bn)是命題公式。 補 {an}的遞推關(guān)系是 an+1=2an+1(n∈ N), a1=1,求數(shù)列的通項公式 an.
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