有限集的類方程與有限群的互補(bǔ)定理-資料下載頁(yè)
2025-08-11 18:47本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】定理1若S是有限集合，f是S到S的一個(gè)雙射.定義S的關(guān)系?且僅當(dāng)存在某一整數(shù)i，使得()ifxy?是S的一個(gè)等價(jià)關(guān)系；的等價(jià)劃分的代表元集，0Fix()Sf????運(yùn)用這個(gè)類方程我們獲得了近期文獻(xiàn)中一系列重要命題及其推廣.定理推廣到一般的奇數(shù)階群中.線性空間是一種具有數(shù)乘運(yùn)算的加法（交換）群，而我們的推廣適用于任何非交換奇數(shù)階群，所用方法及其結(jié)果都是新穎的.定理2設(shè)G為奇數(shù)階群，Aut()fG?，并且G中每個(gè)元素的分解唯。一.特別地，當(dāng)2G滿足交換律時(shí)，1G與2G是互補(bǔ)子群.單，此外把數(shù)論中關(guān)于素?cái)?shù)的一個(gè)判定定理進(jìn)行了推廣.之為S的階，1S表示集合S的恒等映射.為f的不動(dòng)點(diǎn)集，其中滿足()fxx?的元素x稱為f的不動(dòng)點(diǎn).是S上的恒等映射，則Fix()SSp??是可逆映射，從而是雙射，由定理1. 引理1的證明可得結(jié)論成立.證明令G是一個(gè)spt階循環(huán)群，以T表示G的全部sp元子集組成的集族，是軌道iT中任一元素iM的固定子群.由
【正文】 根據(jù)引理 2 知 G 是奇數(shù)階有限群，因此根據(jù)定理 2 有 12G GG? ，其中? ?1 | ( ) F i x ( )GG g f g g f? ? ?， ? ?12 | ( )G g f g g ???.而由 f 無(wú)非單位元的不動(dòng)點(diǎn)知 1 Fix ( ) { }GG f e??，所以 1 2 2G GG G??，即 gG?? ，有 1()f g g?? . 3 應(yīng)用 應(yīng)用 1： Frobenius 定理的證明 現(xiàn)在我們來(lái)用定理 1 及推論來(lái)證明有限群論中的一個(gè)著名定理 — Frobenius定理 . 關(guān)于 Frobenius 定理，在文獻(xiàn) [1,2,3]中分別給出了的不同證法，利用 我們的結(jié)果 ，可以給出該定理的一種巧妙的證明 ，該證法比 [1,2]都更為簡(jiǎn)單 . Frobenius定理 [1,2,3] 設(shè) p 為素?cái)?shù)，有限群 G 的階 sG pt? ，則 G 必有階為 sp的子群，且 G 中階 sp 之子群的個(gè)數(shù) ()sNp 滿足 ( ) 1 (m od )sN p p? . 證明 以 T 表示 G 的全部 sp 元子集組成的集族，類似于 推論 3 的證明，考慮G 在 T 上的作用，并注意到 1 ( )isTt Np? ??，得到 ()sspstpC tN p? (mod )pt 又由引理 1 的結(jié)論 ssptpCt? (mod )pt，得 ()stN p t? (mod )pt ，由此得到 ( ) 1 (m od )sN p p? . 應(yīng)用 2： 素?cái)?shù)判定定理 的推廣 在初等整數(shù)論中，關(guān)于素?cái)?shù)有判定定理： p 為素?cái)?shù)的充分必要條件是 0 (mod )ipCp? (1 i?? 1)p? . 利用 我們的結(jié)論 ，可以把這一重要 命題 推廣為 定理 5 設(shè) 1p? ，則 p 為素?cái)?shù)的充分必要條件是存在正整數(shù) n ，使得 9 0 (mod )inCp? （ 11in? ? ? ） . 證明 （必要性）若 p 為素?cái)?shù)，則取 np? 即得 . （充分性）利用反證法 。 若 p 不為素?cái)?shù)，分兩種情況討論： （ 1） 若 p 至少含有兩個(gè)不同的素因子 12,pp，由 0 (mod )inCp? ，得 到0 (mod )injCp? ( 1 , 2 。 1, 2 , , 1)j i n? ? ?，由推論 5，存在正整數(shù) ,st，使 1snp? ，2tnp? ，矛盾 . （ 2） 若 p 僅含一種素因子 q ，設(shè) kpq? （ 1k? ），則由 0 (mod )iknCq? 及推論 7，存在正整數(shù) s ，使 snq? （ sk? ），特別取 1siq?? ，得 1 0ssqqC ? ? (mod )kq，與 推論 6 矛盾 . [參考文獻(xiàn) ] [1] 沈華 .有限群的 Sylow 定理的一種處理方式 [J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 )， 2020，26(2):9397. [2] 張遠(yuǎn)達(dá) .有限群構(gòu)造 (上冊(cè) )[M].北京 :科學(xué)出版社， 1982. 10 [3] Gallagher P X. On the psubgroups of a finite group [J]., 1967,18:469. [4] 侯國(guó)榮 ,籍靠山 .關(guān)于組合數(shù)的同余 [J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ， 1998,18(3): 15. [5] 胡付高，王七容 . 環(huán)的冪自同態(tài)與 Frobenius 同態(tài) [J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào) ， 2020,23(4): 301311. [6] 聶靈沼 ， 丁石孫 .代數(shù)學(xué)引論 [M].北京：高等教育出版社 ,. [7] 李世榮，趙先鶴，蒙忠傳 .關(guān)于有限群的補(bǔ)子群 [J].廣西科學(xué) ， 2020， 11(3):161164. [8] 邱維敦 .有限群中 n 階方程解的數(shù)目 [J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 )， 2020，范院17(2):1719. [9] Mckay proof of Cauchy’s group theorem[J].Amer Math Monthly， 1959， 66(2):119. [10] 劉紹學(xué) .近世代數(shù)基礎(chǔ) [M].北京 :高等教育出版社， 1999:4246. [11] Jacobson N. Basic Algebra [M].. Freeman and Company,1974. [12] Kegel O Huppert’s characterization of finite suppersoluble groups[J].Southest Asian Bulletin of ， 22:287290. 致謝： 衷心感謝胡付高老師悉心指導(dǎo)！
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