有限集的類方程與有限群的互補定理-文庫吧
2025-07-17 18:47 本頁面
【正文】 S 的 一個等價關(guān)系； （Ⅱ） 0( ) F i x ( ) ( )SxxS N x f N x????? ? ???， (2) 這里 ? ?( ) ( ) |iN x f x i Z??， ? 表示 等價劃分的代表元集， 0 Fix ( )S f???? . 證明 （Ⅰ）首先驗證 ? 是 S 的 一個等價關(guān)系： 由 0()f x x? ， 得 xx? ，即 ? 滿足反身性； 若 xy? ，即存在某一整數(shù) i ， 使 ()if x y? ，由于 f 是 S 到 S 的一個雙射，故 1f?存在，所以 ()if y x? ? ，即得 yx? ，故 ? 滿足對稱性； 若 xy? ， yz? ，即 存在整數(shù) ,ij， 使 ()if x y? ， ()jf y z? ， 則 ()ijfx? ? [ ( )] ( )j i jf f x f y z?? 得 xz? ，即 ? 滿足傳遞性 . 綜上所證， 知 ? 是一個等價關(guān)系 . 3 （Ⅱ）由于 ? 是 S 的 一個等價關(guān)系 ， 考慮集合 S 關(guān)于 ? 的等價劃分，易知集合 ? ?( ) ( ) |iN x f x i Z??是包含 x 的一個等價類，并且 ( ) 1Nx? ? x 為 f 的不動點，即 Fix ( )Sxf? 記 S 關(guān)于 ? 的等價劃分的代表元集為 ? ， 0 Fix ( )S f???? ，則 0( ) F i x ( ) ( )SxxS N x f N x????? ? ???. 定理 1 得證 . 推論 1[1] 設(shè) S 是個有限集合， p 是個素數(shù)， ? 是 S 到 S 的映射，滿足 1p s? ? ，即 p? 是 S 上的恒等映射，則 F ix ( ) (m o d )SSp?? . 其中 Fix ( )S ? 是 ? 的不動點集，即 ? ?F ix ( ) | ( )S x x x????. 證明 不妨設(shè) 1s?? ，由于 1p s? ? ，故 ? 是可逆映射，從而是雙射，由定理 1得0F ix ( ) ( )S xS N x?? ????， 由于 1p s? ? ，則 ? 作為集合 S 的變換群 ()TS中元素，其階 ()? 是 p 的一個因數(shù)，又 1s?? ，故 ( ) 1?? ，于是 ()p? ? . 對 0x ??? ，由定理 1的證明即知 ( ) 1Nx? ，則 ? ?( ) ( )| 0,1, , 1iN x x i p?? ? ?，()Nx p? ，于是0( ) 0 (m o d )x N x p?? ?? ，即得 F ix ( ) (m o d )SSp?? . 推論 2 設(shè) S 是個有限集合， p 是個素數(shù)， ? 是 S 到 S 的映射，滿足 1kp s? ? ，k 為正整數(shù)，則 F ix ( ) (m o d )SSp?? . 證明 對 0x ??? ，易知存在 ()n nx? ， 1 nk??，使 () nN x p? ，其余完全仿引理 1 的證明可得結(jié)論成立 . 下面，我們按照定理 1 的思路 證明 Gallagher 定理： 推論 3[3]（ Gallagher） 設(shè) p 為素數(shù)，則 ssptpCt? (mod )pt . 證明 令 G 是一個 spt階循環(huán)群，以 T 表示 G 的全部 sp 元子集組成的集族，則 ssptpTC?.考慮 G 在 T 上的作用： ? ： ()G ST? ， 1()g M Mg? ?? （這里 gG? ，MT? ， ()ST 是 T 的對稱群） 。 則 T 分拆成一些軌道 iT 之并iiTT?，iiTT??， 4 [ : ]iiT G A? ，其中 {}i i iA g G M g M? ? ?是軌道 iT 中任一元素 iM 的固定子群 .由i i iM A M? ，從而 iM 可分拆成：1iki ij ijM g A??， ij igM? ， (1 )ijk?? ，因此， s i i ip M k A??，所以 is siA p p??。如果 iss? ，則 [ : ]iiT G A? 0isstp??? (mod )pt .如果 iss? ，則 iTt? 。于是 ssptpC T??ii T? 1iiiT t T tTt??? ? ???(mod )pt . 現(xiàn)在計算 1iTt?? （即長為 t 的軌道 iT 的個數(shù)） .注意到： iTt?? siAp?? 1i i i ik M g A? ? ? ，于是 sp 階子群 1i i i iB g Ag?? 與 i i iM gA? 在同一軌道 iT 之中，并且若 iXT? ，則 i i iXg M B g??，于是 1iiX Bgg?? ，所以軌道 iT 中 t 個元素即是G 對于 sp 階子群 iB 的 t 個陪集 .注 意這 t 個陪集之中除
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