【正文】 11 2 1 2 2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f g g g g g g g g f g f g? ? ? ? ?? ? ? ?， 所以 Aut( )fG? . 引理 2 G 是有限群， Aut( )fG? ，且滿足 2 1Gf ? ，若 f 無非單位元的不動(dòng)點(diǎn)，則 G 是奇數(shù)階交換群 . 證明 先證 G 是奇數(shù)階群 .若 f 沒有非單位元的不動(dòng)點(diǎn)，則 Fix ( ) { }G fe? ，而2 1Gf ? ，因此根據(jù)定理 1 或推論 1 有 F i x ( ) ( m o d 2 ) 1 ( m o d 2 )GGf??，即 G 是奇數(shù)階群 . 再證 G 是交換群 .因?yàn)?G 為有限群，則可設(shè) ? ?12, , , nG g g g? ，其中 ijgg? ，從而有 1ijg g e? ? ，而 Fix ( ) { }G fe? ，故 11()i j i jf g g g g??? .又由于 Aut( )fG? ，因此 11( ) ( )i j i jf g f g g g???，所以 1 1 1( ) [ ( ) ] ( )i i j j j jg f g g f g g f g? ? ???.現(xiàn)令 ? ?1 1 11 1 2 2( ) , ( ) , , ( )nnH g f g g f g g f g? ? ?? ， 則 HG? ，而 HG? ，所以 HG? .因此 gG?? ， xG?? ，使得 g 1()xf x?? ，則 6 1 2 1 1 1( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )f g f x f x f x f x f x x g? ? ? ?? ? ? ?， 于是根據(jù)引理 1 可知 G 為交換群 . 引理 3 設(shè) G 是奇數(shù)階群 ， 對(duì)給定 gG? ，則方程 2xg? 在 G 中有唯一解 . 證明 先證存在性 .G 為奇數(shù) ， 則 gG?? ，根據(jù) Lagrange 定理知 ()og t? 必為奇數(shù)，則存在 12tx g G???，使得 2xg? . 再證唯一性 .設(shè) 2xg? 有兩解 12,xx，并設(shè) ( ) , 1 , 2iio x t i??.同樣 由 Lagrange定理知道 ( ) ( 1 , 2)iio x t i??均為奇數(shù) .因?yàn)? 1 1 1221212t t te x g x? ? ?， 從而 21|2tt， 由于 2t 為奇數(shù) ，故 2( ,2) 1t ? ，因此 21|tt，同理 12|tt，所以 12tt? ，則 2 2 2 1211 1 1 1112 2 22 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1( ) ( ) ( )t t t tx e x x x g x x x x? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?. 在文獻(xiàn) [7]中，給出了群 G 的互補(bǔ)子群的定義： 定義 2[7] 設(shè) 1G 、 2G 是群 G 的兩個(gè)子群，若 12G GG? ， 12{}G G e? ，則稱 1G 、2G 是群 G 的互補(bǔ)子群 . 而在線性代數(shù)中，關(guān)于線性空間的對(duì)合變換，有如下結(jié)論：設(shè) f 是線性空間V 的一個(gè)線性變換，滿足 2 1f ? （ 1 為恒等變換），則有 11V V V??? ，其中1 { | ( ) }V V f? ? ?? ? ?， 1 { | ( ) }V V f? ? ?? ? ? ? ?. 有了以上的準(zhǔn)備工作，下面我們把線性空間的對(duì)合變換的分解定理推廣到一般的奇數(shù)階群中 ： 定理 2 設(shè) G 為奇數(shù)階群， Aut( )fG? ，且滿足 2 1Gf ? ，令 ? ?1 | ( )G g f g g??， ? ?12 | ( )G g f g g ???，則 12G GG? ， 12{}G G e? ，并且 G 中每個(gè)元素的分解唯一 .特別地，當(dāng) 2G 滿足交換律時(shí)， 1G 與 2G 是互補(bǔ)子群 . 證明 由 Aut( )fG? 知 gG?? ， xG?? ，使得 ()g f x? .又因?yàn)?G 為奇數(shù)階群，故根據(jù)引理 3 知存在唯一 yG? ，使得 12x g y? ? ，從而 2g xy? ，且有 7 2 1 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f y f x g f x f g f x f x f x x? ? ? ?? ? ? ?， 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )y x g g x f x x f x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 所以 22()f y y?? ，于是 2 2 2( ) [ ( )]y f y f y? ??.再根據(jù)引理 3 解的唯一性知 ()fy? 1y? ，故 2yG? . 又因?yàn)?1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g y x y y x y??? ? ? ?， 所以 1xy G? . 再設(shè) 12g gg? ， iigG? ， 1,2i?