有限集的類方程與有限群的互補定理-預覽頁
【正文】 其中 Fix ( )S ? 是 ? 的不動點集，即 ? ?F ix ( ) | ( )S x x x????. 證明 不妨設 1s?? ，由于 1p s? ? ，故 ? 是可逆映射，從而是雙射，由定理 1得0F ix ( ) ( )S xS N x?? ????， 由于 1p s? ? ，則 ? 作為集合 S 的變換群 ()TS中元素，其階 ()? 是 p 的一個因數，又 1s?? ，故 ( ) 1?? ，于是 ()p? ? . 對 0x ??? ，由定理 1的證明即知 ( ) 1Nx? ，則 ? ?( ) ( )| 0,1, , 1iN x x i p?? ? ?，()Nx p? ，于是0( ) 0 (m o d )x N x p?? ?? ，即得 F ix ( ) (m o d )SSp?? . 推論 2 設 S 是個有限集合， p 是個素數， ? 是 S 到 S 的映射，滿足 1kp s? ? ，k 為正整數，則 F ix ( ) (m o d )SSp?? . 證明 對 0x ??? ，易知存在 ()n nx? ， 1 nk??，使 () nN x p? ，其余完全仿引理 1 的證明可得結論成立 . 下面，我們按照定理 1 的思路 證明 Gallagher 定理： 推論 3[3]（ Gallagher） 設 p 為素數，則 ssptpCt? (mod )pt . 證明 令 G 是一個 spt階循環(huán)群，以 T 表示 G 的全部 sp 元子集組成的集族，則 ssptpTC?.考慮 G 在 T 上的作用： ? ： ()G ST? ， 1()g M Mg? ?? （這里 gG? ，MT? ， ()ST 是 T 的對稱群） 。有限集的類方程與有限群的互補定理 摘 要 :本文首先建立了一個關于有限集的類方程，利用這個方程我們給出了 Frobenius 定理的一個新的證明，并得到一系列重要命題 .最后我們把線性空間中關于對合變換的分解定理推廣到一般的奇數階群中，得到一個關于有限群的互補定理 . 關鍵詞 :類方程；有限群；不動點集；互補定理；階 Finite set class equation and Finite group plementary theorem Liu Sidong (031114313， Department of Mathematics， Xiaogan University) Abstract: In this paper ， we first established one about the finite set class equation， used this equation we to give a new proof about Frobenius’s theorem， and obtained a series of important propositions， finally we obtained one about the finite group plementary theorem. Key Words: Class equation。 Complementary theorem。于是 ssptpC T??ii T? 1iiiT t T tTt??? ? ???(mod )pt . 現在計算 1iTt?? （即長為 t 的軌道 iT 的個數） .注意到： iTt?? siAp?? 1i i i ik M g A? ? ? ，于是 sp 階子群 1i i i iB g Ag?? 與 i i iM gA? 在同一軌道 iT 之中，并且若 iXT? ，則 i i iXg M B g??，于是 1iiX Bgg?? ，所以軌道 iT 中 t 個元素即是G 對于 sp 階子群 iB 的 t 個陪集 .注 意這 t 個陪集之中除 iB 外其余陪集不包含 1，從而不會是子群 .這就表明， G 的每個 sp 階子群均恰好在一個長為 t 的軌道之中，但 G 是循環(huán)群，它的 sp 階子群恰好只有一 個，從而 ssptpCt? (mod )pt .證畢 . 推論 4 設 p 為素數， 0 rp?? ，則 ssptp rCt? ? (mod )p. 證明 只需主要到 sspptp r tpCC? ? (mod )sp，又由 推論 3 即 得 . 進一步的，我們利用以上結論獲得文獻 [4,5]中的一些主要結果，證明方法比原文方法更為簡單： 推論 4[4] 1 (mod )pmp mC C p? ， p 是素數， m 是自然數 . 推論 5[4] 1 (m od )pmp l mC C p? ? ， p 是素數， m 是自然數， l 是非負整數， pl? . 推論 6[6] 設 ln pm? ， ( , ) 1pm? ， kl?
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