有限集的類方程與有限群的互補定理-在線瀏覽
2024-10-23 18:47本頁面
【正文】 ) F i x ( ) ( )SxxS N x f N x????? ? ???，這里 ? ?( ) ( ) |iN x f x i Z??，而 ?表示 S 關于 ? 的等價劃分的代表元集， 0 Fix ( )S f???? . 運用這個類方程我們獲得了 近期文獻中一系列重要命題及其推廣 . 在本文第二部分中，根據(jù)以上結果 ，我們把線性空間中關于對合變換的分解定理推廣到一般的奇數(shù)階群中 .線性空間是一種具有數(shù)乘運算的加法（交換）群，而我們的推廣適用于任何非交換奇數(shù)階群，所用方法及其結果都是新穎的 . 其 主要結果是如下的 互補定理 : 定理 2 設 G 為奇數(shù)階群， Aut( )fG? ，且滿足 2 1Gf ? ，令 ? ?1 | ( )G g f g g??， ? ?12 | ( )G g f g g ???，則 12G GG? ， 12{}G G e? ，并且 G 中每個元素的分解唯一 .特別地，當 2G 滿足交換律時， 1G 與 2G 是互補子群 . 最后，在本文第三部分中，給出了有限集的類方程的一些應用，特別是得到了著名的 Frobenius 定理的一個新的證明 ，我們的方法比文獻 [1,2]中方法更為簡單，此外把數(shù)論中 關于素數(shù) 的一個 判定定理 進行了推廣 . 2 在本文中 ， ()oa 表示群中元素 a 的階， Aut( )G 表示群 G 的自同構群， HG?表示 H 是 G 的子群， ()TS表示集合 S 的變換群， 用 S 表示 S 中 元素的個數(shù)，稱之為 S 的階， 1S 表示集合 S 的恒等映射 . 對映射 f 而言，記號 nf 定義為nnf f f f? ，特別的 0f 為恒等變換 . 1 有限集的類方程 定義 1[1] 設 f 是集合 S 到 S 的映射 ， 稱 ? ?F ix ( ) | ( )S f x f x x?? 為 f 的不動點集 ，其中滿足 ()f x x? 的元素 x 稱為 f 的不動點 . 下面我們建立有限集的類方程： 定理 1 若 S 是有限集合， f 是 S 到 S 的一個雙射 .定義 S 的關系 ? 為 :xy? 當且僅當存在某一整數(shù) i ， 使得 ()if x y? ， 則 （Ⅰ） ? 是 S 的 一個等價關系； （Ⅱ） 0( ) F i x ( ) ( )SxxS N x f N x????? ? ???， (2) 這里 ? ?( ) ( ) |iN x f x i Z??， ? 表示 等價劃分的代表元集， 0 Fix ( )S f???? . 證明 （Ⅰ）首先驗證 ? 是 S 的 一個等價關系： 由 0()f x x? ， 得 xx? ，即 ? 滿足反身性； 若 xy? ，即存在某一整數(shù) i ， 使 ()if x y? ，由于 f 是 S 到 S 的一個雙射，故 1f?存在，所以 ()if y x? ? ，即得 yx? ，故 ? 滿足對稱性； 若 xy? ， yz? ，即 存在整數(shù) ,ij， 使 ()if x y? ， ()jf y z? ， 則 ()ijfx? ? [ ( )] ( )j i jf f x f y z?? 得 xz? ，即 ? 滿足傳遞性 . 綜上所證， 知 ? 是一個等價關系 . 3 （Ⅱ）由于 ? 是 S 的 一個等價關系 ， 考慮集合 S 關于 ? 的等價劃分，易知集合 ? ?( ) ( ) |iN x f x i Z??是包含 x 的一個等價類，并且 ( ) 1Nx? ? x 為 f 的不動點，即 Fix ( )Sxf? 記 S 關于 ? 的等價劃分的代表元集為 ? ， 0 Fix ( )S f???? ，則 0( ) F i x ( ) ( )SxxS N x f N x????? ? ???. 定理 1 得證 . 推論 1[1] 設 S 是個有限集合， p 是個素數(shù)， ? 是 S 到 S 的映射，滿足 1p s? ? ，即 p? 是 S 上的恒等映射，則 F ix ( ) (m o d )SSp?? . 其中 Fix ( )S ? 是 ? 的不動點集，即 ? ?F ix ( ) | ( )S x x x????. 證明 不妨設 1s?? ，由于 1p s? ? ，故 ? 是可逆映射，從而是雙射，由定理 1得0F ix ( ) ( )S xS N x?? ????， 由于 1p s? ? ，則 ? 作為集合 S 的變換群 ()TS中元素，其階 ()? 是 p 的一個因數(shù)，又 1s?? ，故 ( ) 1?? ，于是 ()p? ? . 對 0x ??? ，由定理 1的證明即知 ( ) 1Nx? ，則 ? ?( ) ( )| 0,1, , 1iN x x i p?? ? ?，()Nx p? ，于是0( ) 0 (m o d )x N x p?? ?? ，即得 F
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