有限集的類方程與有限群的互補(bǔ)定理(參考版)
2025-08-16 18:47本頁面
【正文】 1, 2 , , 1)j i n? ? ?，由推論 5，存在正整數(shù) ,st，使 1snp? ，2tnp? ，矛盾 . （ 2） 若 p 僅含一種素因子 q ，設(shè) kpq? （ 1k? ），則由 0 (mod )iknCq? 及推論 7，存在正整數(shù) s ，使 snq? （ sk? ），特別取 1siq?? ，得 1 0ssqqC ? ? (mod )kq，與 推論 6 矛盾 . [參考文獻(xiàn) ] [1] 沈華 .有限群的 Sylow 定理的一種處理方式 [J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 )， 2020，26(2):9397. [2] 張遠(yuǎn)達(dá) .有限群構(gòu)造 (上冊 )[M].北京 :科學(xué)出版社， 1982. 10 [3] Gallagher P X. On the psubgroups of a finite group [J]., 1967,18:469. [4] 侯國榮 ,籍靠山 .關(guān)于組合數(shù)的同余 [J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ， 1998,18(3): 15. [5] 胡付高，王七容 . 環(huán)的冪自同態(tài)與 Frobenius 同態(tài) [J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào) ， 2020,23(4): 301311. [6] 聶靈沼 ， 丁石孫 .代數(shù)學(xué)引論 [M].北京：高等教育出版社 ,. [7] 李世榮，趙先鶴，蒙忠傳 .關(guān)于有限群的補(bǔ)子群 [J].廣西科學(xué) ， 2020， 11(3):161164. [8] 邱維敦 .有限群中 n 階方程解的數(shù)目 [J].山東師范大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 )， 2020，范院17(2):1719. [9] Mckay proof of Cauchy’s group theorem[J].Amer Math Monthly， 1959， 66(2):119. [10] 劉紹學(xué) .近世代數(shù)基礎(chǔ) [M].北京 :高等教育出版社， 1999:4246. [11] Jacobson N. Basic Algebra [M].. Freeman and Company,1974. [12] Kegel O Huppert’s characterization of finite suppersoluble groups[J].Southest Asian Bulletin of ， 22:287290. 致謝： 衷心感謝胡付高老師悉心指導(dǎo)！ 。 于是 0 (m od )kp l knCp?? ，但 0kpnC ? 1(mod )lkp?? . 證明 因?yàn)?()l k l kn p m p m p ??? ，由 推論 3 得 kp l knC mp ?? 1(mod )lkmp ?? ， 所以 有 0kpnC ? (mod )lkp? ，但由 ( , ) 1pm? ，得到 10 (m o d )kp l knCp??? . 推論 7[5] 設(shè) p 為素?cái)?shù)，若 0 (mod )inCp? ， (1 1)in? ? ? ，則存在 sN? 使 snp? . 證明 由 1 0 (mod )nCp? ，即 0 (mod )np? ， 因此可設(shè) kn pt? ， ( , ) 1pt? .若 5 結(jié)論不成立，則 1t? ，從而 snp? ，由定理 3 得 0kpnC ? (mod )p ，與假設(shè)矛盾 . ２ 有限群的互補(bǔ)定理 首先，我們利用前面的結(jié)論，給出下列引理 引理 1 定義群 G 到自身的映射 f 為 : 1( ) ( )f g g g G?? ? ?，則 Aut( )fG?當(dāng)且僅當(dāng) G 為交換群 . 證明 （必要性）若 Aut( )fG? ，則 12,g g G??，有 111 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )f g g f g f g g g????， 而 1 1 11 2 1 2 2 1( ) ( )f g g g g g g? ? ???，所以 1 1 1 12 1 1 2g g g g? ? ?? ，對此式兩邊同時(shí)取逆則得 12gg 21gg? ，所以 G 為交換群 . （充分性）若 G 為交換群，則 1 1 1 1 11 2 1 2 2 1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f g g g g g g g g f g f g? ? ? ? ?? ? ? ?， 所以 Aut( )fG? . 引理 2 G 是有限群， Aut( )fG? ，且滿足 2 1Gf ? ，若 f 無非單位元的不動點(diǎn)，則 G 是奇數(shù)階交換群 . 證明 先證 G 是奇數(shù)階群 .若 f 沒有非單位元的不動點(diǎn)，則 Fix ( ) { }G fe? ，而2 1Gf ? ，因此根據(jù)定理 1 或推論 1 有 F i x ( ) ( m
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