有限集的類方程與有限群的互補定理-文庫吧在線文庫
【正文】 ? ，則 1 1 1 1 12 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y g f y f g f y g f h g f h f g? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 11 1 2[ ( ) ]f h g h g yg? ? ?? ? ?， 于是 222gy? ，再根據引理 3 解的唯一性知 2gy? ，而 12hy gg? ，所以 1gh? . 通過上面的證明可知 12G GG? ，并且 G 中每個元素的分解式唯一 . 下證 12{}G G e? .事實上設 12g G G? ，則 1()g f g g???，故 2ge? ，由引理 1 解的唯一性知 ge? ，所以 12{}G G e? . 若 2G 滿足交換律，要證 1G 與 2G 是互補子群，只須驗證 1GG? 和 2GG? .事實上 1,g h G??，有 ( ) ( ) ( )f gh f g f h gh??， 1 1 1( ) ( )f g f g g? ? ???， 即 1gh G? ， 1 1gG? ? ，所以 1GG? .而 2,g h G??，有 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )f g h f g f h g h h g g h? ? ? ? ?? ? ? ?， 1 1 1 1( ) ( ) ( )f g f g g? ? ? ???， 即 2gh G? ， 1 2gG? ? ，所以 2GG? . 至此，定理 2 全部證完 . 推論 8 設 G 為奇數階群， Aut( )fG? ，且滿足 2 1Gf ? ，令 ? ?1 | ( )G g f g g??， ? ?12 | ( )G g f g g ???，則 12G G G??. 證明 根據定理 2，得 12G GG? ，又 121 2 1 212GGG G G GGG?? ? ??，故得 8 12G G G??. 推論 9 G 是有限群， Aut( )fG? ，且滿足 2 1Gf ? ，若 f 無非單位元的不動點，則 gG?? ，有 1()f g g?? . 證明 根據引理 2 知 G 是奇數階有限群，因此根據定理 2 有 12G GG? ，其中? ?1 | ( ) F i x ( )GG g f g g f? ? ?， ? ?12 | ( )G g f g g ???.而由 f 無非單位元的不動點知 1 Fix ( ) { }GG f e??，所以 1 2 2G GG G??，即 gG?? ，有 1()f g g?? . 3 應用 應用 1： Frobenius 定理的證明 現在我們來用定理 1 及推論來證明有限群論中的一個著名定理 — Frobenius定理 . 關于 Frobenius 定理，在文獻 [1,2,3]中分別給出了的不同證法，利用 我們的結果 ，可以給出該定理的一種巧妙的證明 ，該證法比 [1,2]都更為簡單 . Frobenius定理 [1,2,3] 設 p 為素數，有限群 G 的階 sG pt? ，則 G 必有階為 sp的子群，且 G 中階 sp 之子群的個數 ()sNp 滿足 ( ) 1 (m od )sN p p? . 證明 以 T 表示 G 的全部 sp 元子集組成的集族，類似于 推論 3 的證明，考慮G 在 T 上的作用，并注意到 1 ( )isTt Np? ??，得到 ()sspstpC tN p? (mod )pt 又由引理 1 的結論 ssptpCt? (mod )pt，得 ()stN p t? (mod )pt ，由此得到 ( ) 1 (m od )sN p p? . 應用 2： 素數判定定理 的推廣 在初等整數論中，關于素數有判定定理： p 為素數的充分必要條件是 0 (mod )ipCp? (1 i?? 1)p? . 利用 我們的結論 ，可以把這一重要 命題 推廣為 定理 5 設 1p? ，則 p 為素數的充分必要條件是存在正整數 n ，使得 9 0 (mod )inCp? （ 11in? ? ? ） . 證明 （必要性）若 p 為素數，則取 np? 即得 . （充分性）利用反證法 。如果 iss? ，則 [ : ]iiT G A? 0isstp??? (mod )pt .如果 iss? ，則 iTt? 。 Finite group。 若 p 不為素數，分兩種情況討論： （ 1） 若 p 至少含有兩個不同的素因子 12,pp，由 0 (mod )inCp? ，得 到0 (mod )injCp? ( 1 , 2 。 則 T 分拆成一些軌道 iT 之并iiTT?，iiTT??， 4 [ : ]iiT G A? ，其中 {}i i iA g G M g M? ? ?是軌道 iT 中任一元素 iM 的固定子群 .由i i iM A M? ，從而 iM 可分拆
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