有限集的類方程與有限群的互補定理(完整版)
【正文】 成：1iki ij ijM g A??， ij igM? ， (1 )ijk?? ，因此， s i i ip M k A??，所以 is siA p p??。 Fixed point set。 1, 2 , , 1)j i n? ? ?，由推論 5，存在正整數(shù) ,st，使 1snp? ，2tnp? ，矛盾 . （ 2） 若 p 僅含一種素因子 q ，設(shè) kpq? （ 1k? ），則由 0 (mod )iknCq? 及推論 7，存在正整數(shù) s ，使 snq? （ sk? ），特別取 1siq?? ，得 1 0ssqqC ? ? (mod )kq，與 推論 6 矛盾 . [參考文獻 ] [1] 沈華 .有限群的 Sylow 定理的一種處理方式 [J].湖北大學學報 (自然科學版 )， 2020，26(2):9397. [2] 張遠達 .有限群構(gòu)造 (上冊 )[M].北京 :科學出版社， 1982. 10 [3] Gallagher P X. On the psubgroups of a finite group [J]., 1967,18:469. [4] 侯國榮 ,籍靠山 .關(guān)于組合數(shù)的同余 [J].天津師范大學學報（自然科學版） ， 1998,18(3): 15. [5] 胡付高，王七容 . 環(huán)的冪自同態(tài)與 Frobenius 同態(tài) [J].寧夏大學學報 ， 2020,23(4): 301311. [6] 聶靈沼 ， 丁石孫 .代數(shù)學引論 [M].北京：高等教育出版社 ,. [7] 李世榮，趙先鶴，蒙忠傳 .關(guān)于有限群的補子群 [J].廣西科學 ， 2020， 11(3):161164. [8] 邱維敦 .有限群中 n 階方程解的數(shù)目 [J].山東師范大學學報 (自然科學版 )， 2020，范院17(2):1719. [9] Mckay proof of Cauchy’s group theorem[J].Amer Math Monthly， 1959， 66(2):119. [10] 劉紹學 .近世代數(shù)基礎(chǔ) [M].北京 :高等教育出版社， 1999:4246. [11] Jacobson N. Basic Algebra [M].. Freeman and Company,1974. [12] Kegel O Huppert’s characterization of finite suppersoluble groups[J].Southest Asian Bulletin of ， 22:287290. 致謝： 衷心感謝胡付高老師悉心指導(dǎo)！ 。 Steps 0 引言及主要結(jié)果 1 我們知道，對于有限群 G ，其階 G 滿足 1tiiG C C???? (1) 其中 C 是 G 的中心， 1,tCC是 G 的所有階大于 1 的共軛元素類 . 群論中把 (1)式稱為有限群的類方程，運用這個方程可以得到很多關(guān)于有限群的重要定理，如 Sylow 定理、 Frobenius 定理等 ，因此上述方程在有限群論有著重要的地位 . 本文在第一部分中， 我們采用完全不同于文獻 [1]中的方法，把 [1]中的一個關(guān)鍵結(jié)果（原文中引理 1）推廣到更一般的情形，建立了一個關(guān)于有限集的類方程： 定理 1 若 S 是有限集合， f 是 S 到 S 的一個雙射 .定義 S 的關(guān)系 ? 為 :xy? 當且僅當存在某一整數(shù) i ， 使得 ()if x y? ， 則 （Ⅰ） ? 是 S 的 一個等價關(guān)系； （Ⅱ） 0( ) F i x ( ) ( )SxxS N x f N x????? ? ???，這里 ? ?( ) ( ) |iN x f x i Z??，而 ?表示 S 關(guān)于 ? 的等價劃分的代表元集， 0 Fix ( )S f???? . 運用這個類方程我們獲得了 近期文獻中一系列重要命題及其推廣 . 在本文第二部分中，根據(jù)以上結(jié)果 ，我們把線性空間中關(guān)于對合變換的分解定理推廣到一般的奇數(shù)階群中 .線性空間是一種具有數(shù)乘運算的加法（交換）群，而我們的推廣適用于任何非交換奇數(shù)階群，所用方法及其結(jié)果都是新穎的 . 其 主要結(jié)果是如下的 互補定理 : 定理 2 設(shè) G 為奇數(shù)階群， Aut( )fG? ，且滿足 2 1Gf ? ，令 ? ?1 | ( )G g f g g??， ? ?12 | ( )G g f g g ???，則 12G GG? ， 12{}G G e? ，并且 G 中每個元素的分解唯一 .特別地，當 2G 滿足交換律時， 1G 與 2G
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