【正文】 一般由分析對(duì)象的CAD幾何區(qū)域所確定。 與積分類(lèi)似，我們可以說(shuō)就是函數(shù)的泛函：我們要說(shuō)明一下函數(shù)和泛函的一些區(qū)別，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個(gè)任意集合之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。這些影響可以在以后引入。 最后，我們可以將應(yīng)變矢量和位移的關(guān)系表述出來(lái)這里u指的是位移矢量u=(u,v,w)，其定義就是變形體上的材料點(diǎn)和未變形時(shí)候的位移差。最重要的是，弱形式非常適合求解非線性的多物理場(chǎng)問(wèn)題，這就是COMSOL Multiphysics的重點(diǎn)了。根據(jù)不同的需求，這三種方式又有各自不同的優(yōu)點(diǎn)。但是，有時(shí)候可能經(jīng)典PDE模版也不包括要求解的問(wèn)題，這個(gè)時(shí)候就只能使用弱形式了（雖然這種情況是極少數(shù)的）。另一個(gè)原因就是弱形式有時(shí)候描述問(wèn)題比PDE方程緊湊的多。三種不同形式的求解PDE形式在各種書(shū)籍中比較常見(jiàn)，而且一般都提供了PDE方程的解法。PDE到泛函變分 GJ：PDE方程一般很難求出解析解，通常需要根據(jù)變分原理（數(shù)學(xué)定律）或最小能量原理（物理定律）轉(zhuǎn)化為泛函變分問(wèn)題，即得到積分形式，從而便于使用有限元法劃分區(qū)域離散化，得到剛度矩陣，而最終求解得到PDE的近似數(shù)值解。 總結(jié)以上所有的方程，我們得到了一個(gè)二階PDE方程（Navier方程）， 需要一個(gè)邊界條件來(lái)求解，其中n是表面的法矢，P是邊界上的面力或牽引力。積分的意義是每個(gè)體積微元的內(nèi)能總和，其中應(yīng)力張量單位是Pa，微元體上的應(yīng)變dε沒(méi)有單位，dV單位是體積，因此積分出來(lái)的單位應(yīng)該是N函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，通俗解釋泛函指的就是“函數(shù)的函數(shù)”。靜態(tài)電流傳導(dǎo)和能量的生成在靜態(tài)導(dǎo)電問(wèn)題中，PDE方程由最基本的保守形式開(kāi)始：其中J是電流密度。傳熱PDE方程和能量形式對(duì)于穩(wěn)態(tài)傳熱問(wèn)題，PDE形式為：其中T是溫度，k是熱傳導(dǎo)系數(shù)，Q是空間分布的熱源。利用Taylor展開(kāi)的觀點(diǎn)，假設(shè)已知一個(gè)最小值x，我們可以在上面施加一個(gè)小的擾動(dòng)，由Taylor展開(kāi)可得：這里H就是前面所說(shuō)的Hessian矩陣。 下面是函數(shù)f的一個(gè)特例： 二次多項(xiàng)式：其中A是對(duì)稱矩陣。二次多項(xiàng)式的幾何特征影響經(jīng)典的PDE方程和有限問(wèn)題的分類(lèi)。（這就明白理論力學(xué)里所謂虛位移的意義了，就是一個(gè)任意的擾動(dòng)）另外還有一種方法就是初始的時(shí)候?qū)_動(dòng)寫(xiě)成，這時(shí)對(duì)于任意可取的，其能量函數(shù)寫(xiě)成。理解這個(gè)意思對(duì)理解有限元弱形式非常重要。這種邊界條件就是我們通常說(shuō)得流量或者Nuemann邊界條件。為了得到所做的功（能量），必須點(diǎn)乘上位移u。因此體積項(xiàng)必須有：邊界項(xiàng)上有：現(xiàn)在我們又回到PDE問(wèn)題上了，這說(shuō)明泛函的理論解就是PDE方程的解，即通過(guò)能量最小化原理又重新推回到了PDE形式上！這也是說(shuō)明最小能量化和PDE形式本質(zhì)上是統(tǒng)一的一個(gè)數(shù)學(xué)證明。PDE方程的解稱為強(qiáng)解，而弱形式的解稱為弱解。一般性問(wèn)題的弱形式正如前面所提到的，弱形式只是PDE方程的一種推廣形式，它對(duì)變量的連續(xù)性要求比較低。另外還會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者的一個(gè)區(qū)別是泛函的網(wǎng)格離散化不是轉(zhuǎn)化為泛函變分后求解的，而是直接在泛函中帶入帶未知參數(shù)的近似函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值，進(jìn)而得到未知參數(shù)的方程，求得未知參數(shù)，而弱形式的離散化則是在弱形式下直接離散化。這個(gè)弱形式不能像前面一階變分那樣進(jìn)行重排。你所鍵入的是弱形式積分中的微分項(xiàng)。l 的分量標(biāo)記為ux_test，uy_test，uz_testl 只需要輸入被積函數(shù)，它將被COMSOL Multiphysics自動(dòng)積分處理。結(jié)構(gòu)力學(xué)PDE問(wèn)題靜態(tài)結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本方程是Navier方程：邊界條件：對(duì)流－擴(kuò)散方程中的標(biāo)量項(xiàng)現(xiàn)在全部成了矢量和張量，Navier方程的弱形式為：約定標(biāo)記如下：l 矢量u的分量：u，v和w。比如，*(uy_test+vx_test)。盡管弱形式是一個(gè)標(biāo)量表達(dá)式，但是COMSOL Multiphysics中，弱形式有和PDE系統(tǒng)一樣多的未知量需要文本輸入。為了保證數(shù)值穩(wěn)定型，必須依靠混階有限元(mixed finite element)。這里說(shuō)的相鄰指的是中間有一條邊將其連接起來(lái)。為什么我們可以自由選擇試函數(shù)，不妨回想一下前面提到的弱形式需要對(duì)所有可取的試函數(shù)成立。有限元方法同樣適用于非線性問(wèn)題。如果兩個(gè)矢量正交，一個(gè)矢量f可以通過(guò)標(biāo)量積投影到另一個(gè)矢量g其中fp是與g平等的投影矢量：矢量差與g正交：投影矢量的唯一性特征是原始和投影矢量之間的差與它所投影的矢量正交。Hilbert空間如果對(duì)于一個(gè)標(biāo)量積，我們只考慮那些與自身進(jìn)行的標(biāo)量積（積分）有一個(gè)有限值的函數(shù)u，我們說(shuō)這些函數(shù)屬于一個(gè)確定的函數(shù)類(lèi)，或函數(shù)空間。解函數(shù)u也必須屬于這個(gè)空間。弱形式的有限元現(xiàn)在變成了：對(duì)于中的所有，在中找到，使得現(xiàn)在我們對(duì)有限元方法在函數(shù)空間的作為一個(gè)確定的投影的幾何解釋有了更深入的了解。這是合理的，因?yàn)樵贖1中，而在中，由于是H1的子空間，因此也是在H1中，現(xiàn)在從弱形式中減去有限元解，得到：或即離散誤差：與所有的中的正交。現(xiàn)在我們選擇前面討論的基函數(shù)的和（線性組合）來(lái)近似u和，近似解被稱作和。對(duì)應(yīng)于上面的標(biāo)量積1的Hilbert空間通常標(biāo)記為L(zhǎng)2，與標(biāo)量積2對(duì)應(yīng)的Hilbert空間常稱為H1。矢量e可以看作是關(guān)于f到fp之間的近似誤差。抽象和幾何解釋為什么有限元可以解決問(wèn)題，它是如何解決問(wèn)題的？前面的討論中可以找到一些答案。由于剛度矩陣中很多項(xiàng)為零，所以一般是稀疏矩陣。定義節(jié)點(diǎn)i的基函數(shù)為，也就是在節(jié)點(diǎn)i處其值為1，其他點(diǎn)處值為0。有限元方法本章說(shuō)明弱形式如何利用有限元方法來(lái)進(jìn)行離散。對(duì)于3D結(jié)構(gòu)分析，弱形式中有三個(gè)文本輸入框。對(duì)于其他一些張量表述如有疑問(wèn)，可以參考COMSOL Multiphysics 中的Anisotropic Structural Analysis 的Matrix Notation 。l 試位移矢量v的分量：u_test，v_test，w_test。輸入對(duì)流－擴(kuò)散