【導(dǎo)讀】效用與支出的對偶。從重商主義、重農(nóng)主義、古典經(jīng)濟學(xué)、新古典經(jīng)濟學(xué)到當代。到了越來越深入的研究。無法對如何滿足人們無止境的欲望問題作出解釋。比如，人們需要商品，但必須能夠賣得起。大化問題有了解決途徑——服從約束條件的效用最大化。設(shè)消費集合為，價格體系為，消費者收入為r。費者進行選擇時，要受到兩方面條件限制：客觀條件與經(jīng)濟條件。必須在收入許可的范圍內(nèi)選擇。然而這不是說可免費消費，賒賬和借款相當于擴大收入，然后。在收入限制下進行消費選擇，并沒有沒有擺脫收入約束。給消費選擇造成的制約條件。預(yù)算約束可表示為：要求消費選擇行。超平面px=r叫做預(yù)算線。定理在X為下有界閉子集的情況下，對任何價格體系p?國家為了維護人民生活，建立了最低生活保障制度。有利于社會穩(wěn)定，有利于促進經(jīng)濟均衡。就應(yīng)不低于最低收入標準。所謂最低收入標準，是指在既定價格體。為馬歇爾需求(向量)，簡稱為需求(向量)。如果X是非空下有界凸閉集,?

　　

【正文】 ?????? ????ipprrpxiprpxpprxpiiiiiiiiiiiiiiii???????????? 解的意義 ： p? 是消費者必需的最小支出， pi ? i 是消費者要花費在商品 i 上的最小支出。上式說明 , 消費者把剩余收入 r ? p? 按照比例 ? i 用于增加商品 i 的消費量。 在這個需求系統(tǒng)中 , pi x i = pi ? i +? i (r ? p?)。這表明： 消費者在商品 i上的支出是各種商品的價格和收入的線性函數(shù) 。鑒于此 , 人們把這個需求系統(tǒng)叫做 線性支出系統(tǒng) ，它在計量經(jīng)濟學(xué)中有重要應(yīng)用。 (二 ) 二階條件決定可微需求 現(xiàn)在，我們來考察效用最大化的 二階條件。從邊際方程 可以 看出，假若 x?X ? 是效用最大化問題max u(x) . px = r 的解，那么 x 必是效用函數(shù) u 在點 x 處的 切平面 T(x) 上的最大值點。這里， T(x)的定義如下： 根據(jù)微積分知識可知， u在該點 x o T(x) x u?(x)=? p ?(x) y z ??????rpxpxu )(}0)()(:{)( ????? xuxzRzxT ?處的海森矩陣 在 切空間 ?(x) 上半負定，即對任何 z??(x)，都有 ，其中切空間 ?(x)的定義為： 。這就得到了效用最大化 二階必要條件 ： 海森矩陣 u?(x) 在切空間 ?(x) 上半負定 。 ? ? ???????? )()( xuxu hk0)()( 1, ?? ????? ?? kh khhkT zzxuzxuz)}(:{}0)(:{)( xTyxyxuzRzx ???????? ?1. 二階充分條件：效用函數(shù)強擬凹 二階必要條件并不充分，但若將其中的 “ 半負定 ” 改換成 “ 負定 ” ，則可得到效用最大化的 二階充分條件 ： ? 強擬凹性的定 義 設(shè)效用函數(shù) u(x) 二階可微。 (1) 稱 u 在點 x?X ? 處強擬凹 ， 是指 u?(x) 在切空間 ?(x) 上負定 ， 即 對任何 z??(x)， z ? 0， 都有 。 (2) 稱 u 是 強擬凹 的效用函數(shù) ， 是指 u 在 X 內(nèi)部各點處都強擬凹 。 強擬凹性是關(guān)于偏好的性質(zhì)，與效用函數(shù)選擇無關(guān)： ? 若 u 和 v 是等價的二階可微效用函數(shù)，則 u 強擬凹 ? v 強擬凹。 這一事實的證明留作練習。 T ? 在假設(shè) HU下 ， 若 x?X ? 滿足邊際方程且 u?(x) 在切空間 ?(x) 上負定 ， 則 x 是效用最大化問題 max u(x) . px = r 的局部唯一解 。 二階充分條件也叫做效用函數(shù)的強擬凹性，具體定義如下。 0)( ??? Tzxuz2. 強擬凹效用函數(shù)的特點 函數(shù) u(x)在點 x處的加邊海森矩陣 H(u(x))是指下述矩陣： ? 擬凹性定理 1 設(shè)消費集合 X 滿足假設(shè) HC，效用函數(shù) u(x) 弱擬凹且滿足假設(shè) HU。則 u(x)強擬凹 當且僅當 u(x)在 X 內(nèi)部嚴格擬凹并且對任何 x?X ?，加邊海森矩陣 H(u(x))都可逆。 T ?????? ? ???? 0)( )()())(( xu xuxuxuHT? 擬凹性定 理 2 設(shè)效用函數(shù) u(x) 滿足假設(shè) HU。對任何 x?X ?，如果 u 在點 x 處強擬凹，則對任何實數(shù) ? ? 0，矩陣 H(u(x), ?) 都是可逆的。這里，矩陣 H(u(x), ?) 的定義如下： ?????? ? ???? 0)( )()()),(( xu xuxuxuHT??? 假設(shè) HC、 HP 和 HU 保證邊際方程 “ u?(x) ?? p = 0 amp。 r? px = 0” 唯一確定了需求映射 x = ?( p, r) 并且 ?( p, r) 連續(xù)，即需求函數(shù) 是邊際方程確定的隱函數(shù)。隱函數(shù)存在定理指出，需求函數(shù)的連續(xù)可微性取決于邊際方程的雅克比矩陣 J(x, ?) 是否可逆。計算 J(x, ?)： 3. 需求函數(shù)的可微性 ? 可微性定理 在假設(shè) HC、 HP和 HU下 ， 如果效用函數(shù) u 強擬凹，( p, r)??? 且 x = ?( p, r)?X ?，則需求映射 ? 在 ( p, r)附近連續(xù)可微。 ? “ HC、 HP、 HU、 內(nèi)部均衡 、 強擬凹 ” ? 需求函數(shù)連續(xù)可微 。 ???????????????????????????????????????0)(1)(1)(0)(),(),(),(212211xuxuxuppxuxxxpxrpupupuxTT????????????JJ可見，只要 u強擬凹， J(x, ?)就可逆，從而有下面的可微性定理。 二、價格與收入變動對需求的影響 (1) 消費集合 X 滿足假設(shè) HC， 偏好關(guān)系 ? 滿足假設(shè) HP； (2) ? 的 效用函數(shù) u 滿足假設(shè) HU并且強擬凹 ； (3) 均衡在消費集合內(nèi)部實現(xiàn) ： (?( p, r)???)(? ( p, r)?X ?)。 ??????????rxpxpxphpxu hh?????2211),2,1()( ?需求函數(shù)的可微性為我們 考察價格與收入變動對需求的影響提供了極大的方便，讓我們能夠細致地分析價格與收入哪怕發(fā)生了十分微小的變動，需求會有多大的變動。我們將假定 ： 在這些假定下，消費者的需求影射 x = ? ( p, r) 由邊際方程唯一確定。把 x = ? ( p, r)代入邊際方程，即得到恒等式： 其中 ? = ?( p, r) 為拉格朗日乘數(shù)。 (一 ) 基本矩陣方程 假定價格 p發(fā)生了微小變化 ，收入 r 發(fā)生了微小變化 d r，引起需求發(fā)生變化 (不帶轉(zhuǎn)置符號 “ T” 的向量均可看成行矩陣 )，同時引起拉氏乘數(shù) ? 發(fā)生微小變化 d? 。 這些變化 之間的關(guān)系可通過對邊際等式求微分加以確定： ? ?????? ????? ????rpxxphppxxuk kkkkhhk khkddd),2,1(ddd)(11?? ????寫成矩陣形式，即 ?????????pxrxpppxxu Tdddddd)( ??Txxxx )ddd(d 21 ???用 E 表示 ? 階單位方陣，則上式又可改寫成： ??????????????????????????????????? ??rpxExppxu Tdd10dd0)( ??此式稱為需求的 基本矩陣等式 或 基本矩陣方程 。 Tpppp )ddd(d 21 ??? 注意， ? p = u?(x)。因此， 基本矩陣方程左邊的矩陣為： 于是 ，從而 ，即 。 矩陣 S 叫做 斯勒茨基矩陣 ，其元素 shk 叫做 斯勒茨基系數(shù) 。 1. Slutsky’s Matrix ??????????????????????? ??0)(1)(1)(0)(xuxuxuppxuTT??效用函數(shù)擬凹性定理 2表明，這個矩陣是可逆的，故可以令 ZSZ ?? ?????????? ???????????????)(l e ta nd,0)( 1hkTTsp pxuz z??????????????????????? ???????????????????TTTTTzppxuzZppzxuppxuzzE?? )()(0)(100 ZZ1amp。0 ?? TT zppZ 0?TSp ),2,1(01??? ????hpsk khk 求解 基本矩陣方程： 于是得到方程 ，叫做 斯勒茨基方程 。 2. Slutsky’s Equation ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????rpxzrzpxzrpxzzxzrpxzzxzrpxEzzrpxEppxuxTTTTTTTTdd)(dd)(dddddd10dd100)(dd1??????????????SSZZ?????????rpzxrzpxzx TTdd)(ddd)(d????S 斯勒茨基 方程表明了價格與收入變動引起的需求變動情況： 此公式叫做 需求變動的 微分公式 。 從微分公式又可得到 需求對價格和收入的 導(dǎo)數(shù)公式 ： 即 3. 需求變動的微分公式與導(dǎo)數(shù)公式 rzpxzx TT dd)(d ??? S? ?? ???????????????????TTkhhkTzzzzrxxzsxzpx????21S),2,1,( ?????????????????khzrxxzspxhhkhhkkh(二 ) 價格與收入變動的效應(yīng)分析 當商品價格不發(fā)生變化而收入發(fā)生變化時，商品的需求量明顯地會受到影響。這種 純粹因收入變動而引起的需求量的變動 ，叫做收入效應(yīng) 。 然而，現(xiàn)實中還常會遇到這樣的情況：某種商品的價格并未變化，消費者收入也未變化，該種商品的需求量卻發(fā)生了變化。這是為什么呢？其實，這種需求變動一方面來自于實際收入水平變化引起的收入效應(yīng)，另一方面來商品替代而產(chǎn)生的替代效應(yīng)。 價格變化導(dǎo)致消費者實際收入水平發(fā)生變動，從而產(chǎn)生 收入效應(yīng) ；價格變動還引起商品便宜貴賤情況發(fā)生相對變化，從而產(chǎn)生替代。 在扣除收入效應(yīng) (即讓實際收入水平不變 )后 ， 這種純粹因商品之間的相互替代而引起的需求變動 ，叫做 替代效應(yīng) 。 價格與收入變動引起的需求總變動叫做 總效應(yīng) ，它等于替代效應(yīng)與收入效應(yīng)之和： 總效應(yīng) = 收入效應(yīng) + 替代效應(yīng) 。 1. 微分公式揭示的收入效應(yīng) 微分公式表達著價格與收入變動的總效應(yīng)。結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式， 可把微分公式進一步寫成： 價格和收入變動引起的實際收入變動包括兩部分：一是 dr；另一是價格變動引起的實際收入變動。當價格上升 dp時 , 消費支出增加 xdp，意味著實際收入減少 xdp，即實際收入增加了 ?xdp。 把這兩部分變動加在一起，便得到價格和收入變動引起的實際收入總變動，其值為 dr ? xdp。 注意 , ?x /?r表示 收入增加一單位所引起的需求增加量 ，