【導(dǎo)讀】在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行深入加工之前，總應(yīng)該對(duì)數(shù)據(jù)有所印象。其特征也反映了總體的特征。一個(gè)近似的描述。§如何用圖來(lái)表示數(shù)據(jù)？對(duì)于一個(gè)定量變量，比如某個(gè)地區(qū)。用圖形來(lái)表示這個(gè)數(shù)據(jù)，使人們能夠。的一個(gè)辦法是畫(huà)直方圖?？v坐標(biāo)為各種身高區(qū)間的身高的頻數(shù)。簡(jiǎn)單一些的是盒形圖(boxplot，又稱(chēng)。箱圖、箱線圖、盒子圖)。以地區(qū)1高三男生身高為例（圖），大位數(shù)的數(shù)字，葉為較小位數(shù)的數(shù)字。其中莖葉圖中莖的單位為10cm，而葉子單位為1cm。目150、150、151、152、152、153、153、154、154cm等。可以看出最長(zhǎng)的一行為從165cm到169cm的一段。該數(shù)據(jù)描述了自1900年到1998年男。女第一次婚姻延續(xù)的時(shí)間。由于不可能將所有人。了一個(gè)中間的值(中位數(shù))作為代表。形圖顯示比例不如餅圖直觀。由于定性變量主要是計(jì)數(shù)，比較。因而也是樣本的函數(shù)，樣本的隨機(jī)性決定統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)。均值”和“樣本標(biāo)準(zhǔn)差”，位置統(tǒng)計(jì)量當(dāng)然不一定都是描述。最常用的位置統(tǒng)計(jì)量就是小學(xué)時(shí)所學(xué)。如果記樣本中的觀測(cè)值為x1,…

　　

【正文】 1)分布右側(cè)尾概率 P(zza)=a的示意圖 167。 c2分布 ? 一個(gè)由正態(tài)變量導(dǎo)出的分布是 c2分布 (chisquare distribution， 也翻譯為卡方分布 )。 該分布在一些檢驗(yàn)中會(huì)用到 。 ? n個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量平方和稱(chēng)為有 n個(gè)自由度的 c2分布 ,記為 c2(n)。 c2分布為一族分布 , 成員由自由度區(qū)分 。 ? 由于 c2分布變量為正態(tài)變量的平方和 ， 它不會(huì)取負(fù)值 。 0 2 4 6 8 10c2(2)c2(3)c2(5)自由度為 5的 c2分布密度曲線圖 167。 t分布 ? 正態(tài)變量的樣本均值也是正態(tài)變量 ，能利用減去其均值再除以其 (總體 )標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 。 ? 但用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)代替未知的總體標(biāo)準(zhǔn)差時(shí) ， 得到的結(jié)果分布就不再是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布了 。 它的密度曲線看上去有些象標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 但是中間瘦一些 ， 而且尾巴長(zhǎng)一些 。 這種分布稱(chēng)為 t分布 (tdistribution， 或?qū)W生分布 ， Student’s t)。 167。 t分布 ? 不同的樣本量通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化所產(chǎn)生的 t分布也不同 , 這樣就形成一族分布 。 ? t分布族中的成員是以自由度來(lái)區(qū)分的 。 這里的自由度等于樣本量減去 1（ 如果樣本量為 n， 剛才定義的 t分布的自由度為 n1） 。 ? 由于產(chǎn)生 t分布的方式很多 ， 簡(jiǎn)單說(shuō)自由度就是樣本量減 1是不準(zhǔn)確的 。自由度甚至不一定是整數(shù) 。 4 2 0 2 4N(0,1)t(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和 t(1)分布的密度圖 167。 t分布 ? 通常 用 ta表示 t分布相應(yīng)于右側(cè)尾概率 a的 t變量的 a上側(cè)分位數(shù) ，即對(duì)于 t分布變量 T， 有 P(Tta)=a。在突出自由度時(shí) ， 也用 tn， a， 也有用 t1－ a或 tn， 1－ a表示的 。 ? 圖 2的 t(2)分布右邊的尾概率 （ a?） 。 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 500 . 0 50 . 10 . 1 50 . 20 . 2 50 . 30 . 3 50 . 4t v a l u eDensity of t(2)T a i l P r o b a b i l i t y f o r t ( 2 )t0 . 0 5= 2 . 9 2P ( t t0 . 0 5)= a = 0 . 0 5P ( t t0 . 0 5) = 1 a = 0 . 9 5t(2)分布右側(cè)尾概率 P(tta)=a的示意圖 167。 F分布 ? F分布變量為兩個(gè) c2分布變量（ 在除以它們各自自由度之后 ）的比； ? 而兩個(gè) c2分布的自由度則為 F分布的自由度 ， 因此 ， F分布有兩個(gè)自由度；第一個(gè)自由度等于在分子上的 c2分布的自由度 ， 第二個(gè)自由度等于在分母的 c2分布的自由度 。 0 2 4 6 8F(50,20)F(3,20)自由度為（ 3， 20）和（ 50， 20）的 F分布密度曲線圖 167。 累積分布函數(shù) ? 在前面離散分布的情況可以用 p(x)表示該變量取值 x的概率 ， 如果用大寫(xiě)英文字母 X表示相應(yīng)的隨機(jī)變量 ， 那么概率 P(X=x)= p(x)。 而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )nkmP m X n p k p m p n P X n P X m?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??167。 累積分布函數(shù) ? 在連續(xù)分布的情況 ， 可以用 f(x)表示密度函數(shù) ， 則概率 （ 注意在連續(xù)分布中 ， 某單獨(dú)點(diǎn)的概率為0， 因此下式中的不等式中的等式可以去掉 ） ( ) ( ) ( ) ( )baP a X b f x d x P X b P X a? ? ? ? ? ? ??167。 累積分布函數(shù) ? 為了計(jì)算概率 ， 只知道密度函數(shù)對(duì)于查表或應(yīng)用軟件來(lái)得到已知分布的概率是不方便的 ， 最好能夠知道隨機(jī)變量小于或等于某值的概率 。在上面公式中 ， 如果知道了下面的值就可以計(jì)算所需的概率了 （ 統(tǒng)計(jì)書(shū)中的多數(shù)分布表的概率是以下面累積分布函數(shù) 的形式給出的 ） ： ( ) , ( ) , ( ) , ( )P X m P X n P X a P X b? ? ? ?167。 累積分布函數(shù) ? 隨機(jī)變量小于或等于某個(gè)數(shù)值的概率就稱(chēng)為 累積分布函數(shù) (cumulative distribution function， 簡(jiǎn)稱(chēng) cdf)或 分布函數(shù) 。 ? 累積分布函數(shù)概念的引進(jìn) ， 對(duì)于查表或使用軟件得到概率 （ 根據(jù)上面兩個(gè)公式 ） 是很方便的 。 多數(shù)概率分布表都是以累積分布函數(shù)的形式出現(xiàn)的 。 ? 在后面介紹軟件時(shí) ， 還要舉例說(shuō)明如何利用累積分布函數(shù) 。 167。 用小概率事件進(jìn)行判斷 ? 判明一個(gè)事情的真?zhèn)?， 需要用事實(shí)說(shuō)話 。在統(tǒng)計(jì)中事實(shí)總是來(lái)源于數(shù)據(jù) 。 ? 假定某藥廠聲稱(chēng)該廠生產(chǎn)的某種藥品有60％ 的療效 。 但是當(dāng)實(shí)際調(diào)查了 100名使用該藥物的患者之后 ， 發(fā)現(xiàn)有 40名患者服后有效 。 ? 這個(gè)數(shù)據(jù)是否支持藥廠的說(shuō)法呢 ？ 藥廠所支持的模型實(shí)際上是一個(gè)參數(shù)為 Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。 100名患者的服藥 ，實(shí)際上等于進(jìn)行了 100次試驗(yàn) 。 這就是二項(xiàng)分布 B(100,)模型 。 167。 用小概率事件進(jìn)行判斷 ? 由于使用了藥廠的 。 這個(gè)模型是基于藥廠的觀點(diǎn)的 。 ? 可以基于這個(gè)模型計(jì)算 100名患者中有少于或等于 40名患者治療有效的概率 。 ? 通過(guò)計(jì)算 （ 或查表 ， 后面會(huì)詳細(xì)描述 ）易得 ， 在藥廠觀點(diǎn)正確的假定下 ， 這個(gè)概率為 。 這說(shuō)明 ， 如果藥廠正確 ， 那么只有 40名患者有效這個(gè)事實(shí)是個(gè)小概率事件 ， 即 “ 少于或等于 40名患者有效 ” 的可能性只有大約十萬(wàn)分之四 。 167。 用小概率事件進(jìn)行判斷 ? 這樣在藥廠的觀點(diǎn)和事實(shí)之間有了矛盾 。 是事實(shí)準(zhǔn)確還是藥廠準(zhǔn)確呢 ？ ? 顯然人們一般不會(huì)認(rèn)為藥廠的說(shuō)法可以接受 。 這樣 ， 就利用小概率事件來(lái)拒絕了藥廠的說(shuō)法 。 ? 這種用小概率事件對(duì)假定的模型進(jìn)行判斷是后面要介紹的假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ) 。 167。 大數(shù)定律與中心極限定理 一、大數(shù)定律：闡述大量隨機(jī)變量的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性的一系列定律的總稱(chēng)。 211., , ...,1l i m { } 1nninixxPxn? ? ????? ? ??1獨(dú)立同分布大數(shù)定律：若x ,存在有限的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)任意小的正數(shù) ，有獨(dú)立同分布大數(shù)定律：提供了用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)的理論依據(jù) 貝努力大數(shù)定律 2.AAl im 1nmnmPpn??????? ? ???? ?貝努力大數(shù)定律：設(shè) 是 次獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)中事件 發(fā)生的次數(shù)，p 是事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)對(duì)任意小的正數(shù) ，有貝努力大數(shù)定律：提供了用頻率代替概率的理論依據(jù) 中心極限定理 二、中心極限定理：闡述大量隨機(jī)變量之和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理的總稱(chēng)。 22221., , .. .,N ( n ,n1N ( ,nnxxxn?? ? ????????1ii獨(dú)立同分布中心極限定理：若x 符合i . i . d , 存在有限的數(shù)學(xué)期望 和方差 ，當(dāng)n 時(shí)，隨機(jī)變量的總和 x ) 或算術(shù)平均數(shù) x )獨(dú)立同分布的中心極限定理 ? 結(jié)論：不論總體服從何種分布，只要它的數(shù)學(xué)期望和方差存在，從中抽取容量為 n的樣本，當(dāng) n充分大時(shí)，則這個(gè)樣本的總和或平均數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。 德莫佛－拉普拉斯中心極限定理 AAXB ( n p)XNmn??設(shè) 是 次獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)中事件 發(fā)生的次數(shù)，p 是事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則 服從二項(xiàng)分布 ， ，當(dāng)n 時(shí)， （np ,n pq )該定理提供了用正態(tài)分布近似計(jì)算二項(xiàng)分布概率的方法。 例：對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、 1名家長(zhǎng)、 2名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為 、 、 。若學(xué)校共有 400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立，且服從同一分布。（ 1）求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù) X超過(guò) 450的概率；（ 2）求有 1名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于 340的概率。 解（ 1）以 Xk(k=1,2,…,400) 記第 k個(gè)學(xué)生來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)，則 Xk的分布律為 Xk 0 1 2 pk 易知 E(Xk)=， D(Xk)= k=1,2,…,400, 而 4001kkXX???4001400 400 400 9 400 9400 450 400 400 9 400 9400 1 47 1 ( 47 ) 357400 9kkXXXXf??????? ? ? ????????????? ? ? ? ? ??????近似服從正態(tài)分布N ( 0 , 1 ) ,于是，P(X 45 0)= PP(2)以 Y記有一名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)，則 Y~b(400,)，由中心極限定理得 40 0 34 0 40 0 ( 34 0)40 0 40 0 40 0 ( ) 93 840 0 YP Y PYP f? ? ? ???? ? ???? ? ? ???????? ? ? ??????