【正文】 例：對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機(jī)變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、 1名家長、 2名家長來參加會議的概率分別為 、 、 。 是事實準(zhǔn)確還是藥廠準(zhǔn)確呢 ？ ? 顯然人們一般不會認(rèn)為藥廠的說法可以接受 。 167。 167。 而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )nkmP m X n p k p m p n P X n P X m?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??167。 4 2 0 2 4N(0,1)t(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和 t(1)分布的密度圖 167。 它的密度曲線看上去有些象標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 但是中間瘦一些 ， 而且尾巴長一些 。 c2分布 ? 一個由正態(tài)變量導(dǎo)出的分布是 c2分布 (chisquare distribution， 也翻譯為卡方分布 )。 正態(tài)分布 ? 而 a上側(cè)分位數(shù) （ 又稱 a上 分位數(shù) ，aupper quantile） 定義為數(shù) xa， 它滿足關(guān)系 ()P X x a a??這里的 a也 稱為上（右）側(cè)尾概率（ upper/right tail probability）。 4 2 0 2 4N(0,1)N(2,)兩條正態(tài)分布的密度曲線。 正態(tài)分布也是一族分布 ， 各種正態(tài)分布根據(jù)它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同而有區(qū)別 。 但當(dāng)你用稍微精確一些的天平稱那些袋裝鹽的重量時 ， 會發(fā)現(xiàn)有些可能會重些 ，有些可能會輕些；但都是在 1kg左右 。 ? 該曲線即所謂 概率密度函數(shù) (probability density function， pdf)， 簡稱密度函數(shù)或密度 。 167。 ? 因此 ， Poisson分布也是一個分布族 。 下面p(k)代表在 n次 Bernoulli試驗中成功的次數(shù)的概率 ， p為每次試驗成功的概率 。 ? 基于此 ， 二項分布用符號 B(n,p)或Bin(n,p)表示 。 167。 ? 當(dāng)然離散變量不不僅僅限于取非負(fù)整數(shù)值 。 ? 概率分布是關(guān)于總體的概念 。 概率的運算 : ? 但是由于一個人抽中 ， 其他人就不可能抽中 ， ? 所以 ， 這三個事件不獨立 。 167。 剛才多出來的部分就是 A和 B的共同部分A∩B（ 稱為 A和 B的交 ） 的概率 （ 這個概率算了兩遍 ） ； ? 它為 “ 得到既是偶數(shù) ， 又大于等于 3”的部分 ， 即 4和 6兩點 。 ? 比如 “ 擲一次骰子得到 3或者 6點 ”的概率是 “ 得到 3點 ” 的概率與“ 得到 6點 ” 的概率之和 ， 即1/6+1/6=1/3。 ? 這種如果一個不出現(xiàn) ， 則另一個肯定出現(xiàn)的兩個事件稱為 互補(bǔ)事件 （ plementary events， 或者互余事件 或 對立事件 ） 。 ? 為什么會這么說呢，讓我們看擲兩個骰子的試驗。 概率的運算 ? 在擲骰子中，得到 6點的概率是 1/6，而得到 5點的概率也是 1/6。因此這種通過相對頻數(shù)獲得概率的方法也并不是萬能的。 得到概率的幾種途徑 ? 2． 根據(jù)長期相對頻數(shù) ? 事件并不一定是等可能的，或者人們對于其出現(xiàn)的可能性一無所知。 ? 拋一個公平的硬幣 ， 則以等可能 (概率 1/2)出現(xiàn)正面或反面 。實際上，任何樣本經(jīng)過這樣的標(biāo)準(zhǔn)化后，就都變換成均值為 0、方差為 1的樣本。 數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得分 ? 雖然這種均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同的數(shù)據(jù)不能夠直接比較 ， 但是可以把它們進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化 ， 再比較標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù) 。 度量樣本中各數(shù)值到均值距離的一種平均 。一般來說，數(shù)據(jù)越分散，尺度統(tǒng)計量的值越大。 ? 樣本中出現(xiàn)最多的數(shù)目，稱為 眾數(shù)(mode) 167。 ? 由于中位數(shù)不易被極端值影響，所以中位數(shù)比均值穩(wěn)健 (robust)。 167。 ? 這些數(shù)字是從樣本數(shù)據(jù)得來的，因而也是樣本的函數(shù)， ? 任何樣本的函數(shù)，只要不包含總體的未知參數(shù)，都稱為 統(tǒng)計量(statistic)。 ? 從每一條可以看出講各種語言的實際人數(shù)，而且分別給出了每個語種中母語和日常使用的人數(shù)（在圖中并排放置）。 定量變量的圖表示 : ? 數(shù)據(jù)會有兩個變量，如美國男士和女士初婚年限數(shù)據(jù)（ ）。而另一種圖： 莖葉圖 (stemandleaf plots)可以恢復(fù)數(shù)據(jù) ? 以地區(qū) 1高三男生身高為例（圖 ），莖葉圖既展示了分布形狀又有原始數(shù)據(jù)。 ? 用圖形來表示這個數(shù)據(jù)，使人們能夠看出這個數(shù)據(jù)的大體分布或“形狀”的一個辦法是畫 直方圖 (histogram)。統(tǒng)計學(xué) ─ 從數(shù)據(jù)到結(jié)論 第三章數(shù)據(jù)的描述 ? 在對數(shù)據(jù)進(jìn)行深入加工之前 ，總應(yīng)該對數(shù)據(jù)有所印象 。 ? 圖 SPSS軟件所畫的直方圖。它象一片帶有莖的葉子。 ? 該數(shù)據(jù)描述了自 1900年到 1998年男女第一次婚姻延續(xù)的時間。條形圖顯示比例不如餅圖直觀。 ? 樣本的隨機(jī)性決定統(tǒng)計量的隨機(jī)性（統(tǒng)計量也是隨機(jī)變量） 167。 數(shù)據(jù)的“位置” 數(shù)據(jù)有位置嗎？ 這里三個數(shù)據(jù)的位置一樣嗎？ 167。 167。 數(shù)據(jù)的“尺度” ? 這兩個數(shù)據(jù)“胖瘦”一樣嗎？ 167。 167。 ? 標(biāo)準(zhǔn)差實際上是 方差 (variance)的平方根 。 ? 一個標(biāo)準(zhǔn)化的方法是把某樣本原始觀測值 （ 亦稱得分 ， score） 和該樣本均值之差除以該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差；得到的度量稱為 標(biāo)準(zhǔn)得分 (standard score，又稱為 zscore)。標(biāo)準(zhǔn)化后不同樣本觀測值的比較只有相對意義，沒有絕對意義。 167。 ? 這時就要靠觀察它在大量重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率來估計它出現(xiàn)的概率。雖然如此，用相對頻數(shù)來確定概率的方法是很常用的。 ? 那么擲一次骰子得到 5或者 6的概率是多少呢？ ? 在擲 10次骰子中有 一半或以上的次數(shù)得到 5或 6的概率又是多少呢？ ? 讀者很快就可能很快會得到答案。 167。 167。 ? 但是如果兩個事件可能同時發(fā)生時這樣做就不對了 。 出現(xiàn)事件 4或者 6的概率為 1/6+1/6=1/3。 概率的運算 : ? 如果你有一個固定電話和一個手機(jī) ，假定固定電話出毛病的概率為 ，而手機(jī)出問題的概率為 ， ? 那么 ， 兩個電話同時出毛病的概率是多少呢 ？ ? 聰 明 的 讀 者 馬 上 會 猜 出 ， 是 =。 剛才的乘法規(guī)則不成立； ? 這時 ， P(A1∩A3) ＝ P(A1∩A2) ＝P(A2∩A3)＝ 0；如錯誤照搬乘法規(guī)則會得到錯誤的 (1/3)2=1/9。 有了概率分布就等于知道了總體 。 ? 一般來說 ， 某離散隨機(jī)變量的每一個可能取值 xi都相應(yīng)于取該值的概率 p(xi)，這些概率應(yīng)該滿足關(guān)系 ( ) 1 , ( ) 0iiip x p x???167。 二項分布 ? 下面試驗可看成為 Bernoulli試驗： ? 每一個進(jìn)入某商場的顧客是否購買某商品 ? 每個被調(diào)查者是否認(rèn)可某種產(chǎn)品 ? 每一個新出嬰兒的性別 。 ? 由于 n和 p可以根據(jù)實際情況取各種不同的值 ， 因此二項分布是一族分布 ， ? 族內(nèi)的分布以這兩個參數(shù)來區(qū)分 。 有 ( ) ( 1 ) , 0 , 1 , . . . ,k n knp k p p k nk???? ? ?????這里 !! ( ) !n nk k n k?? ??? ???為二項式系數(shù)，或記為 knC0 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率p = 0 . 1 p = 0 . 2 p = 0 . 3p = 0 . 4 p = 0 . 5 p = 0 . 6p = 0 . 7 p = 0 . 8 p = 0 . 90 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率0 1 2 3 4 5值0 . 0 00 . 2 00 . 4 00 . 6 0概率0 1 2 3 4 5值0 1 2 3 4 5值圖 九個二項分布 B(5,p) (p＝ )的概率分布圖 167。族中不同成員的區(qū)別在于事件出現(xiàn)數(shù)目的均值 l不一樣 。 超幾何分布 ? 這是一種所謂的 “ 不放回抽樣 ” ，也就是說 ， 一次抽取若干物品 ， 每檢查一個之后并不放回； ? 超幾何分布族的成員被三個參數(shù)決定 ， 這里相應(yīng)于產(chǎn)品總個數(shù) n， 其中不合格產(chǎn)品數(shù)目 m， 不放回抽樣的數(shù)目 t；而樣本中有 x個不合格產(chǎn)品的概率為 ( ) , 0 , 1 , .. .,m n mx t xp x x tnt?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?????????離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 (expected value) 1. 離散型隨機(jī)變量 X的所有可能取值 xi與其取相對應(yīng)的概率 pi乘積之和 2. 描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度 3. 記為 ? 或 E(X) 4. 計算公式為 取無窮個值）取有限個值）XpxXEXpxXEiiiniii()(()(1?????????離散型隨機(jī)變量的方差 (variance) 1. 隨機(jī)變量 X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望 ， 記為 ? 2 或 D(X) 2. 描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度 3. 計算公式為 4. 方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差 ， 記為 ? 或 ? ? 222( ) [ ( ) ] ( )iiiD X E X E X x p??? ? ? ? ? ??)( XD離散型數(shù)學(xué)期望和方差 (例題分析 ) 【 例 】 一家電腦配件供應(yīng)商聲稱 ， 他所提供的配件 100個中擁有次品的個數(shù)及概率如下表 次品數(shù)