【導(dǎo)讀】設(shè)我們有Y和X的n對(duì)觀測(cè)值數(shù)據(jù)，則根據(jù)式，為未知的總體參數(shù)，也稱為回歸模型。真正的關(guān)系是Y=f(X1，X2，…,相對(duì)不重要，用u代表之。解釋“典型”的行為，而用u來表示個(gè)體偏差。的總體值，常用的估計(jì)方法就是最小二。為了應(yīng)用最小二乘法，得到好的估計(jì)量，雙。即各期擾動(dòng)項(xiàng)方差是一常數(shù).即各期擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布。下面簡(jiǎn)單討論一下上述假設(shè)條件。即各期擾動(dòng)項(xiàng)的均值（期望值）均為0。沒有理由相信這樣一些影響會(huì)以一種系統(tǒng)的方式。使因變量增加或減小。因此擾動(dòng)項(xiàng)均值為0的假設(shè)是。即各期擾動(dòng)項(xiàng)互不相關(guān)。也就是假定它們之間無。自相關(guān)或無序列相關(guān)。擾動(dòng)項(xiàng)具有同方差性。即Xt的取值是確定的,而不是隨機(jī)的。和,使得擬合的直線為最佳。對(duì)于任何數(shù)據(jù)點(diǎn),此直線將Yt的總值分成兩部分?？傮w上盡可能地小。要做到這一點(diǎn)，就必須用。理想的測(cè)度是殘差平方和，即。即選擇和，使得????此二式稱為正規(guī)方程。解此二方程，得：

　　

【正文】 解： 問題可化為 “ 預(yù)測(cè)誤差是否顯著地大 ？ ” 當(dāng) 時(shí) ， 預(yù)測(cè)誤差 ? ???? 64,23,10, 22 xXn?27,28 00 ?? YXXY ??280 ?X ????Y ????? YYe74 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 原假設(shè) H0： 備擇假設(shè) H1： 檢驗(yàn)： 若 H0為真 ， 則 對(duì)于 n2=8個(gè)自由度 ， 查表得 5%顯著性水平檢驗(yàn)的 t臨界值為： 即 64)2328(101)(11?)(222000 ????????????? xXXneEet?0)( 0 ?eE0)( 0 ?eE3 0 ?ct)8( ?t75 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 結(jié)論： 由于 故接受原假設(shè) ， 即新觀測(cè)值與樣本觀測(cè)值來自同一總體 。 上例的意義在于 ， 我們可以通過從估計(jì)模型用的一組觀測(cè)值中剔除最近期的一兩對(duì)觀測(cè)值 ， 用它們來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)功效 。 如果我們?cè)谏鲜鰴z驗(yàn)中拒絕了原假設(shè) ， 則不管是什么原因 ， 我們都要認(rèn)真對(duì)待 ， 回過頭來檢查模型的設(shè)定是否正確 。 例 3 書 P61例 3 0 ??t76 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 第六節(jié) 有關(guān)最小二乘法的進(jìn)一步討論 一 ． 有關(guān)應(yīng)用最小二乘法的前提的進(jìn)一步討論 運(yùn)用普通最小二乘法 ， 我們得到雙變量線性模型系數(shù) α和 β的最小二乘估計(jì)量 和 。 我們已經(jīng)證明在一定的假設(shè)條件下 ， 它們是最佳線性無偏估計(jì)量 （ BLUE） 。 這樣一種估計(jì)量 ， 是我們從樣本數(shù)據(jù) （ 觀測(cè)值 ） 推斷總體 （ 參數(shù) ） 所能得到的最佳結(jié)果 。 換句話說 ，我們不能得到比最小二乘估計(jì)量更理想的估計(jì)量了 。 可是 ， 不應(yīng)忘記 ， 我們得到這一理想的結(jié)果是有條件的 ，我們?cè)趯?dǎo)出最小二乘估計(jì)量之前所規(guī)定的五個(gè)假設(shè)條件是： ????77 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) （ 1） E(ut) = 0, t=1,2,… ,n 即各期擾動(dòng)項(xiàng)的均值 （ 期望值 ） 均為 0。 （ 2） E(uiuj) = 0, i≠j 即各期擾動(dòng)項(xiàng)互不相關(guān) 。 （ 3） E(ut2)=, t=1,2,… ,n 即各期擾動(dòng)項(xiàng)的方差是一常數(shù) 。 （ 4） 為非隨機(jī)量 ， t=1,2,… ,n （ 5） ut ~ N (0, ), t=1,2,… ,n 即各期擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布 。 tX2?78 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 我們現(xiàn)在需要考慮的是 ， 如果假設(shè)條件中的某些條件不成立 ， 會(huì)有什么情況 ？ 在比較弱的情況下 ，估計(jì)量的上述統(tǒng)計(jì)性質(zhì)能否成立 ？ 如果不成立 ， 能否得到一些比較弱的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) ？ 這些問題 ， 如出現(xiàn)異方差性 （ 第 （ 3） 個(gè)條件不成立 ） 和自相關(guān) （ 第 （ 2） 個(gè)條件不成立 ） 的情形 ，我們將在后面的教學(xué)內(nèi)容中予以討論 。 我們這里提出這樣一些問題 ， 目的是使讀者對(duì)普通最小二乘法的應(yīng)用前提有一個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí) 。 79 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 如果某些假設(shè)條件不能滿足，我們就要考慮采用其它估計(jì)方法，盡管我們因此而得不到一個(gè)具備OLS估計(jì)量那么理想的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的估計(jì)量，我們也只能是不得已求其次，滿足于一個(gè)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)稍弱一些的估計(jì)量。 這種代價(jià)是必須接受的，因?yàn)闊o論如何，這種代價(jià)比起硬套普通最小二乘法而得到一個(gè)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)很差的估計(jì)量來說，要小得多。 80 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 二 ． 漸近性質(zhì) 我們下面簡(jiǎn)單討論一下第 (4)條假設(shè) ， 即 Xt為非隨機(jī)量的假設(shè)不成立的情況 ， 以加深讀者對(duì)我們上面所討論原則的印象 。 第 (4)條假設(shè)是一個(gè)比較強(qiáng)的假設(shè) ， 它表明解釋變量的觀測(cè)值 Xt是非隨機(jī)的 ， 因而與各期擾動(dòng)項(xiàng)無關(guān) 。 由此 ， 我們證明了最小二乘估計(jì)量的無偏性 ， 我們也不難證明最小二乘估計(jì)量的一致性 。 由統(tǒng)計(jì)學(xué)得知 ， 一致性 （ 即估計(jì)量 是一致估計(jì)量 ） 的充分條件是： ??0)?(lim)?(lim?????????V arEnn81 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 對(duì)于 OLS估計(jì)量 ， 我們有 對(duì)于任何 n成立 ， 并且當(dāng) n趨向無窮時(shí) ， 有 因此 ， 的一致估計(jì)量 ， 即 也就是說 ， 如果滿足第 (4)條假設(shè) ， 即 Xt為非隨機(jī)的 ， 則 OLS估計(jì)量既是無偏的 ， 又是一致的 。 ?? ?)?(E0)?()(222112????????????tnttnttxV arXXx????是??? ??? ?limnP82 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 當(dāng)假設(shè)條件 (4)有所減弱時(shí)情況會(huì)怎樣呢 ？ 可以證明： （ 1） 即使解釋變量是隨機(jī)的 ， 只要 每一個(gè) Xt都獨(dú)立于 所有的 擾動(dòng)項(xiàng) ut (t=1,2,… ,n), 則我們?cè)谧C明無偏性時(shí)所用的式子 ， t=1,2,… ,n 中的權(quán)數(shù) kt將獨(dú)立于相應(yīng)的擾動(dòng)項(xiàng) ut， 因而無偏性和一致性仍將成立 。 （ 2） 如果再減弱一點(diǎn) ， 我們只有 Xt獨(dú)立于 相應(yīng)的 擾動(dòng)項(xiàng) ut（ 即解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)同期無關(guān) ） ， 則無偏性不再成立 ， 但一致性仍將成立 。 ttttt ukxux ??? ???? ???2?83 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 因此 ， 根據(jù)具體情況 ， 我們有時(shí)不得不滿足于所得到的模型參數(shù)的估計(jì)量?jī)H僅是一致估計(jì)量這一差強(qiáng)人意的結(jié)果 。 在后面介紹分布滯后模型和聯(lián)立方程模型時(shí) ， 我們將作進(jìn)一步討論 。 此外 ， 假如僅僅是第 (5)條假設(shè) ， 即 ut服從正態(tài)分布的假設(shè)不成立 ， 則我們雖然仍可證明 OLS估計(jì)量為 BLUE， 但不可能再證明 OLS估計(jì)量服從正態(tài)分布 。在這種情況下 ， 我們只有轉(zhuǎn)而求助于漸近正態(tài)性 ，即只要觀測(cè)值的數(shù)目足夠多 ， 我們?nèi)钥杉俣?OLS估計(jì)量近似地服從正態(tài)分布 。 84 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 第三章 小結(jié) 本章主要結(jié)果： 一 、 最小二乘法 若雙變量線性模型 Yt＝ α+βXt+ ut 滿足下列統(tǒng)計(jì)假設(shè) （ 1） E（ ut） =0 …………… 擾動(dòng)項(xiàng)均值為 0 （ 2） E（ uiuj） =0 , i? j…… 擾動(dòng)項(xiàng)相互獨(dú)立 （ 3） E（ ut2） =σ2 ………… 常數(shù)方差 （ 4） X是非隨機(jī)的 （ 5） ut服從正態(tài)分布 85 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 則最小二乘估計(jì)量 ???2?tttxyx? XY ?? ???為最佳線性無偏估計(jì)量 （ B L U E ）。且??～ N （ β ，?22tx?）??～ N （ α ，??222ttxnX?）86 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 二 、 擬合優(yōu)度 決定系數(shù) R2 = 1 和相關(guān)系數(shù) r= 為最小二乘回歸線擬合優(yōu)度的測(cè)度 ， 即回歸線對(duì)各觀測(cè)點(diǎn)擬 合緊密程度的測(cè)度 ， 且 R2=（ r） 2。 ???????? 2222)()?()( YYYYYYetttt? ??22ttttyxyx87 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 三、區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)σ2的無偏估計(jì)量 2?2?222?????? ??nyxynetttt????的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ??2?)?(txSe??我們有 t =????2/??)?(?txSe ??????～ t （ n 2 ）β 的置信區(qū)間為： ??22//??txt ???88 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 四 、 預(yù)測(cè) 假設(shè)我們有一組樣本觀測(cè)值 Xt和 Yt， 我們用最小二乘法對(duì)雙變量模型的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì) 。 現(xiàn)要對(duì)自變量的一具體值 X0來預(yù)測(cè)與 X0相應(yīng)的因變量值 Y0。 若原模型設(shè)定 Yt=α+βXt+ ut 對(duì)預(yù)測(cè)期也成立 ， 即 Y0=α+βX0+u0 則因變量的點(diǎn)預(yù)測(cè)值為： 0?Y = ?? + ?? X0預(yù)測(cè)誤差0e =Y 0 0?Y89 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 其方差為 我們有 ～ t（ n2） Y0的 95%的置信區(qū)間為 ?????????? ???? ? 22020)(11)(txXXneV a r ??????22000)(11??txXXnYY???????220)(11???txXXntX ???90 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 第三章 習(xí)題 設(shè)有 10個(gè)工人的數(shù)據(jù)如下： X 10 7 10 5 8 8 6 7 9 10 Y 11 10 12 6 10 7 9 10 11 10 其中 X=勞動(dòng)工時(shí) ， Y=產(chǎn)量 1） 試估計(jì) Y=α+βX + u 2） 提供回歸分析結(jié)果 （ 按標(biāo)準(zhǔn)格式 ） 并適當(dāng)說明 3） 檢驗(yàn)原假設(shè) β= 用 12對(duì)觀測(cè)值估計(jì)出的消費(fèi)函數(shù)為 Y=+， 且已知 =， =200， =4000, 試預(yù)測(cè)當(dāng) X=250時(shí) Y的值 ， 并求 Y的 95%置信區(qū)間 。 2 ?? ? ?2x91 (海量營(yíng)銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 請(qǐng)對(duì)下列說法進(jìn)行判斷 ， 答案為下列二者之一：對(duì) ， 錯(cuò) 。 （ 1） 若線性回歸模型滿足假設(shè)條件 （ 1） （ 4） ， 但擾動(dòng)項(xiàng)不服從正態(tài)分布 ， 則盡管 OLS估計(jì)量不再是 BLUE， 但仍為無偏估計(jì)量 。 （ 2） 最小二乘斜率系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)所依據(jù)的是 t分布 ， 要求β的抽樣分布是正態(tài)分布 。