【正文】 的關(guān)鍵．11．（2020湖北荊門中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根比另一個(gè)根大2，則m的值為_____．【答案】1【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根據(jù)根的關(guān)系即可求解．【解析】解 （x3m）（xm）=0 ∴x3m=0或xm=0解得x1=3m,x2=m，∴3mm=2解得m=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解法的運(yùn)用．12．（2019廣西桂林中考真題）一元二次方程的根是_____．【答案】【分析】利用因式分解法把方程化為x3=0或x2=0，然后解兩個(gè)一次方程即可．【解析】解：或，所以．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．（2020四川甘孜中考真題）三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和7，第三邊的長(zhǎng)是方程的解，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是________．【答案】17【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，從而得出答案．【解析】解：解方程得x1=2，x2=6，當(dāng)x=2時(shí)，2+4=67，不能構(gòu)成三角形，舍去；當(dāng)x=6時(shí)，2+6＞7，能構(gòu)成三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為4+7+6=：17．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．14．（2020遼寧大連中考真題）1275年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個(gè)問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問闊及長(zhǎng)各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問寬和長(zhǎng)各幾步．若設(shè)長(zhǎng)為x步，則可列方程為_____．【答案】x（x﹣12）＝864．【分析】由長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：∵長(zhǎng)為x步，寬比長(zhǎng)少12步，∴寬為（x﹣12）步．依題意，得：x（x﹣12）＝864．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15．（2019內(nèi)蒙古呼和浩特中考真題）用配方法求一元二次方程的實(shí)數(shù)根．【答案】．【分析】首先把方程化為一般形式為2x29x34=0，然后變形為，然后利用配方法解方程．【解析】原方程化為一般形式為，，，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．16．（2020湖北中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值．【答案】(1) ；(2) 【分析】(1)根據(jù)建立不等式即可求解；(2)先提取公因式對(duì)等式變形為，再結(jié)合韋達(dá)定理求解即可．【解析】解：(1)由題意可知，整理得：，解得：，∴的取值范圍是：．故答案為：．(2)由題意得：，由韋達(dá)定理可知：，故有：，整理得：，解得：，又由(1)中可知，∴的值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．17．（2020廣西玉林中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根是a，b，求的值．【答案】（1）k1；（2）1【分析】（1）根據(jù)?0列不等式求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b、ab的值，然后代入所給代數(shù)式計(jì)算即可.【解析】解：（1）由題意得?=4+4k0，∴k1；（2）∵a+b=2，ab=k，∴== = =1.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式與根的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系，若x1，x2為方程的兩個(gè)根，則x1，x2與系數(shù)的關(guān)系式：，．18．（2020湖北隨州中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）求出△的值即可證明；（2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可．【解析】（1）證明：依題意可得 故無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． （2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得： 由，得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?，x1x2=．19．（2020內(nèi)蒙古赤峰中考真題）閱讀理解：材料一：若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)教x，y，z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.材料二：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的兩根分別為，則有，．問題解決：（1）請(qǐng)你寫出三個(gè)能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的實(shí)數(shù) ；（2）若，是關(guān)于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不為0)的兩根，是關(guān)于x的方程bx+c=0(b，c均不為0)的解．求證：x1 ，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三個(gè)點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，且三點(diǎn)的縱坐標(biāo)恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）見解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．【分析】（1）根據(jù)“和諧三數(shù)組”的定義可以先寫出后2個(gè)數(shù)，取倒數(shù)求和后即可寫出第一個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，然后再求出，只要滿足=即可；（3）先求出三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1，y2，y3，然后由“和諧三數(shù)組”可得y1，y2，y3之間的關(guān)系，進(jìn)而可得關(guān)于m的方程，解方程即得結(jié)果．【解析】解：（1）∵，∴，2，3是“和諧三數(shù)組”；故答案為：，2，3（答案不唯一）；（2）證明：∵，是關(guān)于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不為0)的兩根，∴，∴，∵是關(guān)于x的方程bx+c=0(b，c均不為0)的解，∴，∴，∴=，∴x1 ，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三個(gè)點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∵三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1，y2，y3恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，∴或或，即或或，解得：m=﹣4或﹣2或2．【點(diǎn)睛】本題是新定義試題，主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和對(duì)新知“和諧三數(shù)組”的理解與運(yùn)用，正確理解題意、熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.（2020上海中考真題）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營(yíng)業(yè)額為350萬(wàn)元，9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同，“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等．求該商店去年9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率．【答案】（1）504萬(wàn)元；（2）20%．【分析】(1)根據(jù)“前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的12%”即可求解；(2)設(shè)去年9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x，則十一黃金周的月營(yíng)業(yè)額為350(1+x)2，根據(jù)“十一黃金周這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等”即可列方程求解．【解析】解：(1)第七天的營(yíng)業(yè)額是45012%=54(萬(wàn)元)，故這七天的總營(yíng)業(yè)額是450+45012%=504(萬(wàn)元)．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額為504萬(wàn)元．(2)設(shè)該商店去年9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x，依題意，得：350(1+x)2=504，解得：x1==20%，x2=﹣(不合題意，舍去)．答：該商店去年9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為20%．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的增長(zhǎng)率問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（2020遼寧丹東中考真題）某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元，規(guī)定每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量（件）與每件的售價(jià)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：售價(jià)（元/件）606570銷售量（件）140013001200（1）求出與之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量的取值范圍）（2）該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何給這種襯衫定價(jià)？（3）物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%，設(shè)這種襯衫每月的總利潤(rùn)為（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）這種襯衫定價(jià)為每件70元；（3）價(jià)定為65元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19500元．【分析】（1）根據(jù)題意可以設(shè)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)“總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)銷售量”列出方程并求解，最后根據(jù)盡量給客戶實(shí)惠，對(duì)方程的解進(jìn)行取舍即可；（3）求出w的函數(shù)解析式，將其化為頂點(diǎn)式，然后求出定價(jià)的取值，即可得到售價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少．【解析】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得， 解得，∴與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）設(shè)該種襯衫售價(jià)為x元，根據(jù)題意得，（x50）(20x+2600)=24000解得，，∵批發(fā)商場(chǎng)想盡量給客戶實(shí)惠，∴，故這種襯衫定價(jià)為每件70元；（3）設(shè)售價(jià)定為x元，則有： = ∵ ∴ ∵k=20＜0，∴w有最大值，即當(dāng)x=65時(shí)，w的最大值為20（6590）2+32000=19500（元）．所以，售價(jià)定為65元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是19500元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解答．22．（2020重慶中考真題）為響應(yīng)“把中國(guó)人的飯碗牢牢端在自己手中”的號(hào)召，確保糧食安全，優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對(duì)A、B兩個(gè)玉米品種進(jìn)行實(shí)驗(yàn)種植對(duì)比研究．去年A、B兩個(gè)品種各種植了10畝．收獲后A、且B品種的平均畝產(chǎn)量比A品種高100千克，A、B兩個(gè)品種全部售出后總收入為21600元．（1）求A、B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少千克？（2）今年，科技小組優(yōu)化了玉米的種植方法，在保持去年種植面積不變的情況下，預(yù)計(jì)A、B兩個(gè)品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加a%和2a%．由于B品種深受市場(chǎng)歡迎，預(yù)計(jì)每千克售價(jià)將在去年的基礎(chǔ)上上漲a%，而A品種的售價(jià)保持不變，A、B兩個(gè)品種全部售出后總收人將增加，求a的值．【答案】（1）A品種去年平均畝產(chǎn)量是400、B品種去年平均畝產(chǎn)量是500千克；（2）10．【分析】（1）設(shè)A、B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x、y千克，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可得到答案；（2）根據(jù)題意分別表示A品種、B品種今年的收入，利用總收入等于A品種、B品種今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．【解析】（1）設(shè)A、B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x、y千克，由題意得，解得．答：A．B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是400、500千克（2）根據(jù)題意得：．令a%=m，則方程化為：．整理得10m2m=0，解得：m1=0（不合題意，舍去），m2=所以a%=，所以a=10，答：a的值為10．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，掌握列方程或方程組解應(yīng)用題的方法與步驟是解題的關(guān)鍵．23．（2020湖北荊州中考真題）閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），解：設(shè)，則有，原方程可化為：，續(xù)解：【答案】，．【分析】利用因式分解法解方程t2+4t5=0得到t1=5，t2=1，再解方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解．【解析】續(xù)解：，解得，（不合題意，舍去），，，經(jīng)檢驗(yàn)都是方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程，涉及了無(wú)理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解決本題的關(guān)鍵．換元法的一般步驟：設(shè)元、換元、解元、還元．