江蘇省13市高一(上)期末試題匯編(新高考)：函數(shù)概念與基本性質(zhì)(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 06:10本頁面
【正文】 g（x）＝8x，，當(dāng)f（x）為奇函數(shù)，f（x）＝﹣f（﹣x）?a＝﹣1；當(dāng)f（x）為偶函數(shù)，f（x）＝f（﹣x）?a＝1．（2）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，f（x）＝2x﹣2﹣x，x∈[1，2]，2x∈[2，4]，若對于任意的x∈[1，2]，都有f（2x）≥mf（x）成立，所以m的取值范圍是．（3）當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，f（x）＝2x+2﹣x，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，令t＝2x+2﹣x≥2，則t2﹣2＝mt（t≥2），又在[2，+∞）單調(diào)遞增，所以h（t）≥1，1．當(dāng)m＜1，此時(shí)方程無解；2．當(dāng)m≥1，存在唯一解t0∈[2，+∞），又因?yàn)閒（x）＝2x+2﹣x為偶函數(shù)，不防設(shè)0≤x1＜x2，所以f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0]單調(diào)遞減，①當(dāng)m＝1時(shí)，t0＝2，此時(shí)方程有唯一解x0＝0；②當(dāng)m＞1時(shí)，t0＞2，此時(shí)方程有兩個(gè)解，下證必要性：令h（x）＝2x+2﹣x﹣t0，h（x）為偶函數(shù)，h（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，h（0）＝2﹣t0＜0，所以h（x）在有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)時(shí)偶函數(shù)，則在也有一個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)m＞1，t0＞2時(shí)一共有2兩個(gè)零點(diǎn)．（20202021鎮(zhèn)江上期末）21．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x．（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）用定義證明函數(shù)f（x）在[0，1]上為減函數(shù)；（3）已知x∈[0，2π]，且f（sinx）＝f（cosx），求x的值．【解析】（1）奇函數(shù)；證明：函數(shù)f（x）＝x3﹣3x，定義域x∈Rf（﹣x）＝（﹣x）3﹣3（﹣x）＝﹣（x3﹣3x）＝﹣f（x）故f（x）為奇函數(shù)（2）任取0≤x1＜x2≤1，＝，因?yàn)椋?≤x1x2＜1所以則f（x1）﹣f（x2）＞0?f（x1）＞f（x2）所以f（x）在[0，1]上為減函數(shù)．（3）x∈[0，2π]，﹣1≤sin≤1，﹣﹣1≤cosx≤1f（x）在R上為奇函數(shù)且f（x）在[0，1]為減函數(shù)，則有f（x）在[﹣1，1]也是減函數(shù)，又f（sinx）＝f（cosx）?sinx＝cosx，又x∈[0，2π]，則或．（20202021揚(yáng)州上期末）20．現(xiàn)有三個(gè)條件：①對任意的x∈R都有f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2；②不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜2}；③函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（3，2）．請你在上述三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充到下面的問題中，并求解（請將所選條件的序號填寫在答題紙指定位置）已知二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c，且滿足_____（填所選條件的序號）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設(shè)g（x）＝f（x）﹣mx，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為3，求實(shí)數(shù)m的值．【解析】（1）條件①：因?yàn)閒（x）＝ax2+bx+c（a≠0），所以f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b＝2x﹣2，即2（a﹣1）x+a+b+2＝0對任意的x恒成立，所以，解得，條件②：因?yàn)椴坏仁絝（x）＜0的解集為{x|1＜x＜2}，所以，解得，且a＞0，條件③：函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（3，2），所以9a+3b+c＝2，若選擇條件①②：則a＝1，b＝﹣3，c＝2，此時(shí)f（x）＝x2﹣3x+2；若選擇條件①③：則a＝1，b＝﹣3，c＝2，此時(shí)f（x）＝x2﹣3x+2；若選擇條件②③：則a＝1，b＝﹣3，c＝2，此時(shí)f（x）＝x2﹣3x+2．（2）由（1）知g（x）＝x2﹣（m+3）x+2，其對稱軸為，①當(dāng)，即m≤﹣1時(shí)，g（x）min＝g（1）＝3﹣（m+3）＝﹣m＝3，解得m＝﹣3，②當(dāng)，即m≥1時(shí)，g（x）min＝g（2）＝6﹣（2m+6）＝﹣2m＝3，解得（舍），③當(dāng)，即﹣1＜m＜1時(shí)，無解．綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的值為﹣3．（20202021蘇州上期末）20．（12分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）＝2x+k?2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函數(shù)，求函數(shù)y＝f（x）+f（2x）的零點(diǎn)；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上調(diào)遞減且在（2，+∞）上單調(diào)遞增？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k?2x＝﹣2x﹣k?2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函數(shù)y＝f（x）+f（2x）的零點(diǎn)為x＝0．（2）當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）＝2x+k?2﹣x在R上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)k＞0時(shí)，令t＝2x，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，t∈（0，），當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，t∈（4，+∞），因?yàn)閒（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減且在（2，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（t）＝t+在（0，）上單調(diào)遞減且在（4，+∞）上單調(diào)遞增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在實(shí)數(shù)k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減且在（2，+∞）上單調(diào)遞增．24
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