20xx屆河南省六市高三第二次聯(lián)考(二模)數(shù)學(xué)(文)試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-05 06:01本頁面
【正文】 ，屬于難題.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若極大值大于2，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)得到，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)跟的取值有關(guān)系，所以要對的取值進(jìn)行分類討論，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.由（1）知，和時，無極大值，不成立．再分析當(dāng)時，極大值， 又，求解得a的取值范圍；當(dāng)時，極大值，得，求解得a的取值范圍，最后兩種情況取并集即可.【詳解】（1）求導(dǎo),當(dāng)時，令，解得： ，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為當(dāng)時，令，解得：或 ，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)時，上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；無遞減區(qū)間當(dāng)時，令，解得：或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)減區(qū)間為.綜上：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）由（1）知，當(dāng)和時，無極大值，不成立當(dāng)時，函數(shù)的極大值為，解得，由于，所以．當(dāng)時，函數(shù)的極大值為，得，令，則，在取得極大值，且.因?yàn)椋?，而在單增，所以，解為，則.綜上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合( 圖像在 上方即可)；③討論最值或恒成立.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于?兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）最大值是.【分析】（ 1）將參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)可得直線的普通方程，利用，即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（ 2）把直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標(biāo)方程得，由參數(shù)的幾何意義求出，再由到直線的距離求得三角形的高，進(jìn)而求得的面積然后求最值即可.【詳解】（1）將直線的參數(shù)方程(為參數(shù)，)中的參數(shù)消去，得到直線的普通方程，為，由曲線的極坐標(biāo)方程，可得，又，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）把直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標(biāo)方程得：，設(shè)?對應(yīng)的參數(shù)分別為?，則，由參數(shù)的幾何意義知：，又點(diǎn)到直線的距離，∴的面積：，當(dāng)，即時等號成立，故的面積的最大值是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是能夠根據(jù)參數(shù)的幾何意義將已知弦長用韋達(dá)定理的形式表示，再利用點(diǎn)到直線的距離表示三角形的高.23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，去絕對值化簡即可求解；（2）將函數(shù)解析式代入不等式，分離參數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)不等式解集為非空，即可知，由絕對值三角不等式性質(zhì)可變形為，結(jié)合，即可求得b的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，解不等式化為，即，∴，解得，∴不等式的解集為.（2）由，得，設(shè)，則不等式的解集非空，等價于；由，∴；由題意知存在，使得上式成立；而函數(shù)在上的最大值為，∴；即b的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)法求最值的應(yīng)用，絕對值三角不等式性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題.
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