20xx屆廣東省“百越名校聯(lián)盟”高三上學(xué)期12月普通高中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(解析版)-資料下載頁(yè)
2025-04-05 05:20本頁(yè)面
【正文】 91120根據(jù)列聯(lián)表，得．而，因此有95%的把握認(rèn)為一分鐘跳繩成績(jī)與跳遠(yuǎn)成績(jī)有關(guān)．（2）一分鐘跳繩和跳遠(yuǎn)成績(jī)都優(yōu)秀的同學(xué)共有6人，其中男同學(xué)2人，女同學(xué)4人．則的可能取值為1，2，3．則，．所以的分布列為123故．20．如圖，四棱錐中，已知，，．（1）證明：平面平面PCD；（2）設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，求直線l與平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由勾股定理逆定理證得．取CD中點(diǎn)為E點(diǎn)，證明是正方形，再由勾股定理逆定理證得，然后可證得線面垂直平面PCD，得證面面垂直；（2）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．取CD中點(diǎn)為E點(diǎn)，因，所以，又因，，所以四邊形ABDE是正方形，所以．所以，即，又因，所以，因?yàn)?，，所以平面PCD，又因平面PAD，所以平面平面PCD．（2）由（1）知，且，所以面ABCD，又因，故以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．則，設(shè)平面PAB的法向量為，則，得，取，延長(zhǎng)DA和CB，使其相交于點(diǎn)F，則面PAD與面PBC的交線l即為PF，易得，所以．設(shè)直線l與平面PAB所成的角為，則．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查證明面面垂直，考查求直線與平面所成的角，求線面角常用方法：（1）定義法：作出直線與平面所成的角并證明，然后在直角三角形中計(jì)算可得；（2）向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，由直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦的絕對(duì)值等于直線與平面所成角的正弦值計(jì)算．21．已知橢圓的離心率是，其左頂點(diǎn)為A，橢圓C與拋物線有相同的一個(gè)焦點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作直線交橢圓C于兩點(diǎn)D，E（異于左右頂點(diǎn)），連AD并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，連AE并延長(zhǎng)交直線L于點(diǎn)N．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)四邊形DENM面積最小時(shí)，求直線DE的方程．【答案】（1）；（2）直線DE的方程為.【分析】由拋物線的焦點(diǎn)求得橢圓中的，進(jìn)而求得；因?yàn)椋謩e計(jì)算和，然后得到，接著利用函數(shù)的單調(diào)性求得四邊形DENM面積最小時(shí)，進(jìn)而得到直線DE的方程.【詳解】（1）由已知得，故．由橢圓C的離心率是，得．又因，所以．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線DE的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得．設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理得，．直線AD的方程為，于是，同理，所以，所以．因?yàn)椋裕裕?，則，于是．令，則，于是在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有，所以函數(shù)的最小值為2，此時(shí)．因此，當(dāng)四邊形DENM的面積取最小值為時(shí)，直線DE的方程為．【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．22．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：．【答案】（1）一個(gè)；（2）證明見解析.【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，和函數(shù)的值域比較，即可證明.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理得在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)．綜上可得，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．（2）證明：要證，即證．令，定義域?yàn)?，則．由（1）知，在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，設(shè)其為，則①．因，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以．由式①可得，所以．又時(shí)，恒成立，所以得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).第 26 頁(yè) 共 26 頁(yè)
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