20xx屆海南省海南中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 05:04本頁面
【正文】 確，③正確：顯然，得∴當(dāng)①③正確時，由，得（無解）；當(dāng)②③正確時，由于，得．（2）∵，則，∴，而，．21．已知函數(shù)，通常被稱為“雙勾”函數(shù)．（1）若，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；（2）我們知道“雙勾”函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱．請問“雙勾”函數(shù)的圖像是軸對稱圖形嗎？若是，求出對稱軸所在方程；若不是，請說明理由．【答案】（1）函數(shù)存在兩個零點；（2）是，對稱軸所在方程為．【分析】（1）求出函數(shù)的單數(shù)，得出其單調(diào)區(qū)間，利用零點存在原理可求解.（2）假設(shè)“對勾”函數(shù)圖像是軸對稱圖形，則對稱軸一定過對稱中心原點，可設(shè)為，根據(jù)對稱性取兩個關(guān)于對稱軸對稱的點，則其中點在對稱軸上，由斜率關(guān)系以及點在“雙勾”曲線上，可得答案.【詳解】解：（1），則，令，當(dāng)時，則函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時，則函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時又，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在有一個零點.由，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.故函數(shù)存在兩個零點．（2）假設(shè)“對勾”函數(shù)圖像是軸對稱圖形，則對稱軸一定過對稱中心原點．令對稱軸方程為，是函數(shù)圖像上任意一點，它關(guān)于對稱軸的對稱點也在函數(shù)圖像上．則線段的中點坐標(biāo)為, 又，兩式相加、相減分別得：,解得故對稱軸方程為．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)零點問題，對稱性等知識，解答本題的關(guān)鍵是由則線段的中點坐標(biāo)為, ，又，屬于中檔題.22．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)實數(shù)的正負(fù)性分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，若，則原問題等價于：當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）由題意得，∴當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時，令，有：在上單調(diào)遞增令，有：在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）且令則，即，所以有函數(shù)單調(diào)遞增，而單調(diào)遞減若，則原問題等價于：當(dāng)時，對任意不等式恒成立即對任意，恒成立記由題意：在上單調(diào)遞減．∴對任意，恒成立令且則在上恒成立故，而在上單調(diào)遞增∴函數(shù)在上的最大值為由，解得故，實數(shù)的最小值為．【點睛】關(guān)鍵點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.第 19 頁 共 19 頁
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