20xx屆海南省海南中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題(解析版)(更新版)
【正文】 個(gè)正確，③正確：顯然，得∴當(dāng)①③正確時(shí)，由，得（無(wú)解）；當(dāng)②③正確時(shí)，由于，得．（2）∵，則，∴，而，．21．已知函數(shù)，通常被稱(chēng)為“雙勾”函數(shù)．（1）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）我們知道“雙勾”函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)．請(qǐng)問(wèn)“雙勾”函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？若是，求出對(duì)稱(chēng)軸所在方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)；（2）是，對(duì)稱(chēng)軸所在方程為．【分析】（1）求出函數(shù)的單數(shù)，得出其單調(diào)區(qū)間，利用零點(diǎn)存在原理可求解.（2）假設(shè)“對(duì)勾”函數(shù)圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則對(duì)稱(chēng)軸一定過(guò)對(duì)稱(chēng)中心原點(diǎn)，可設(shè)為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性取兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則其中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，由斜率關(guān)系以及點(diǎn)在“雙勾”曲線上，可得答案.【詳解】解：（1），則，令，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)又，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn).由，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).故函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．（2）假設(shè)“對(duì)勾”函數(shù)圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則對(duì)稱(chēng)軸一定過(guò)對(duì)稱(chēng)中心原點(diǎn)．令對(duì)稱(chēng)軸方程為，是函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在函數(shù)圖像上．則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為, 又，兩式相加、相減分別得：,解得故對(duì)稱(chēng)軸方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)稱(chēng)性等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是由則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為, ，又，屬于中檔題.22．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)實(shí)數(shù)的正負(fù)性分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，若，則原問(wèn)題等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）由題意得，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，有：在上單調(diào)遞增令，有：在上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）且令則，即，所以有函數(shù)單調(diào)遞增，而單調(diào)遞減若，則原問(wèn)題等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意不等式恒成立即對(duì)任意，恒成立記由題意：在上單調(diào)遞減．∴對(duì)任意，恒成立令且則在上恒成立故，而在上單調(diào)遞增∴函數(shù)在上的最大值為由，解得故，實(shí)數(shù)的最小值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.第 19 頁(yè) 共 19
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