20xx屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)預(yù)測卷(六)(解析版)-資料下載頁
2025-04-05 05:03本頁面
【正文】 （2）已知某國家已經(jīng)有意向與我國簽訂疫苗訂單，所以該國決定購買一批預(yù)備疫苗為之后沒有接種成功的人進(jìn)行第二輪注射，估計(jì)理想情況下該國需要從我國一共購買多少支疫苗？【答案】（1）99%；（2）.【分析】（1）利用概率的加法公式根據(jù)題意計(jì)算即可；（2）結(jié)合第（1）問，用頻率估計(jì)概率，再用概率估計(jì)總體..【詳解】（1）方法一：接種兩次的情況下接種成功，可能會(huì)出現(xiàn)“第一次接種成功?第二次接種不成功”“第一次接種不成功?第二次接種成功”“兩次都接種成功”3種情況.則其概率，∴此人可以接種成功的概率為99%.方法二：接種兩次的情況下接種成功，可以轉(zhuǎn)化為“1兩次接種都不成功的概率”，因此所求概率，∴此人可以接種成功的概率為99%.（2）由（1）可得，接種該款疫苗可以接種成功的概率為99%，未接種成功的概率為1%，∴(人)，則有1000人需要進(jìn)行第二輪注射，∴(萬支)，∴.21．已知拋物線，是拋物線的弦，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，兩條切線交于一點(diǎn)，連接，交拋物線于點(diǎn).（1）過點(diǎn)作拋物線的切線，證明：；（2）若直線過定點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）可設(shè)直線的方程為，，得中點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程，相減得出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得軸，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出過點(diǎn)的切線方程可證明平行；（2）由（1）由直線過定點(diǎn)，得的關(guān)系，再用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，可得軌跡方程．【詳解】（1）由題可設(shè)直線的方程為，，則.，得，∴，.又過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，兩條切線交于一點(diǎn)，∴直線：，直線：.兩式相減得，∴，∴.故軸，代入，得.則直線的方程為，即，即，∴.（2）若直線過定點(diǎn)，則由（1）可得，∴.由（1）可得直線的方程為，則，則，∴，∴.又，∴，得，∴點(diǎn)的軌跡方程為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，結(jié)論：過拋物線上一點(diǎn)作拋物線的切線，切線方程為.22．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，得切線斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程并整理；（2）題意即證當(dāng)時(shí)，.利用時(shí)，放縮，只要證，為此構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得它的最小值媽可完成證明．【詳解】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義?利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性?最值，不等式的證明.（1），∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得.（2）要證當(dāng)時(shí)，即證當(dāng)時(shí)，.(利用放縮法進(jìn)行放縮，然后證明，即可證明)當(dāng)時(shí)，恒成立，∴，故有.若證得，即可證得.下面證明.不等式兩側(cè)同時(shí)除以可將不等式轉(zhuǎn)化為，(構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值，根據(jù)最小值大于0證得結(jié)果)令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.所以原不等式成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式．證明不等式關(guān)鍵是在于轉(zhuǎn)化，一是利用不等式的放縮簡化函數(shù)式，二是構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值．第 23 頁 共 23
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