20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：選修4-5-第一講-絕對(duì)值不等式-(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 03:22本頁(yè)面
【正文】 1＜2a，解得a＞1，即a的取值范圍為(1，＋∞)．考點(diǎn)三,絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用例3 (2018課標(biāo)Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|．(1)畫(huà)出y＝f(x)的圖象；(2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[解析] (1)f(x)＝y(tǒng)＝f(x)的圖象如圖所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線(xiàn)斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值為5．例4 (2021東北師大附中摸底)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3．(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．[解析] (1)當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式f(x)＜g(x)化為|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0．設(shè)函數(shù)y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，則y＝．其圖象如圖所示．從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，y＜0．所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)a＞－1，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝1＋a，∴f(x)≤g(x)，即1＋a≤x＋3．故x≥a－2，對(duì)x∈都成立，故－≥a－2，解得a≤，故a的取值范圍是．名師點(diǎn)撥(1)解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)來(lái)解決．(2)數(shù)形結(jié)合是解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問(wèn)題的常用方法．〔變式訓(xùn)練3〕(2020山西大學(xué)附中月考)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋a|－|x－3|(a∈R)．(1)若a＝－1，求不等式f(x)＋1＞0的解集；(2)已知a＞0，若f(x)＋3a＞2對(duì)于任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．[解析] (1)因?yàn)閍＝－1，所以f(x)＝所以不等式f(x)＋1＞0等價(jià)于或或，解得x＜－1或x＞1．所以不等式f(x)＋1＞0的解集為{x|x＜－1或x＞1}．(2)因?yàn)閍＞0，所以f(x)＝根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)的最小值為f＝－－3，因?yàn)閒(x)＋3a＞2恒成立，所以－－3＋3a＞2，解得a＞2．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞)． 9
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