20xx屆黑龍江省哈爾濱市第三中學高三第二次模擬考試數(shù)學-(理)試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 02:34本頁面
【正文】 難度較難.21．已知函數(shù)為函數(shù)的導函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間﹔（2）若存在實數(shù)，且使得，求證∶．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；【分析】（1）求得函數(shù)的導數(shù)，討論判別式和的范圍：，，解二次不等式，即可得到所求單調區(qū)間；（2）求得函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)為0，解二次方程可得，設，又，可得，求出導數(shù)，判斷單調性，即可得證．【詳解】解：（1）函數(shù)的導數(shù)為，①當，即，恒成立，可得恒成立．即有的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當，即，可得的兩根為，②當時，，可得，或；，可得，即的增區(qū)間為，；減區(qū)間為；③當時，，可得；，可得，即的增區(qū)間為；減區(qū)間為；綜上可得：當時，在上單調遞增，無減區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，；減區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為；減區(qū)間為；（2）證明：函數(shù)的導數(shù)為，由題意可得，是的兩根，且，可得，設，又，可得，由可得，即在遞減，則，顯然恒成立，則．【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構造函數(shù)法，運用單調性解決，考查化簡整理的運算能力.22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))．以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，射線的極坐標方程為．已知直線過點，且與垂直．(1)求直線的極坐標方程與曲線的普通方程；(2)設直線與曲線交于，兩點，求與的等比中項．【答案】(1)；；(2)．【分析】(1)由與垂直求出直線的斜率，寫出直線的直角坐標方程，化成極坐標方程得解，消去曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)，即得曲線的普通方程；(2)寫出直線的參數(shù)方程，再與曲線的普通方程聯(lián)立，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，即可求出與的等比中項．【詳解】(1)因為射線的極坐標方程是，直線與射線垂直，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的直角坐標方程為，即，將，代入，得：，所以直線的極坐標方程為．將曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，得曲線的普通方程為．(2)由(1)可得直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，代入曲線的普通方程，整理得，顯然．設，對應的參數(shù)分別為，則，由參數(shù)的幾何意義可知，．所以，所以與的等比中項為，即．【點睛】過定點的直線與曲線相交，涉及交點與該定點距離的相關問題，關鍵是直線方程要選用直線參數(shù)方程的標準形式，借助參數(shù)的幾何意義求解.23．已知的最小值為．（1）求的值；（2）已知，且，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析；【分析】（1）去絕對值變成分段函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)的單調性可求出的最小值，與已知最小值相等列式可求出；（2）利用分析法結合基本不等式即可證明．【詳解】解：（1），在區(qū)間，上單調遞減，在區(qū)間，上單調遞增，；（2）由（1），且，要證，只要證，即證，即證，即證，即證，即證，顯然，當且僅當時取等號．．【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．22
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