【正文】 +x）2，解得x=，推出BN=，再根據(jù)BG=BN247。cos30176。即可解決問題.試題解析：（1）結論：AG2=GE2+GF2．理由：連接CG．∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關于對角線BD對稱，∵點G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90176。，∴四邊形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點M，使得AM=BM．設AN=x．∵∠AGF=105176。，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45176。，∴∠AGB=60176。，∠GBN=30176。，∠ABM=∠MAB=15176。，∴∠AMN=30176。，∴AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN247。cos30176。=．考點：正方形的性質，矩形的判定和性質，勾股定理，直角三角形30度的性質13．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上一點，連結CE，過頂點C作CF⊥CE，交AD延長線于F．求證：BE=DF.【答案】證明見解析.【解析】分析：根據(jù)正方形的性質，證出BC=CD，∠B=∠CDF，∠BCD=90176。，再由垂直的性質得到∠BCE=∠DCF，然后根據(jù)“ASA”證明△BCE≌△BCE即可得到BE=DF詳解：證明：∵CF⊥CE，∴∠ECF=90176。，又∵∠BCG=90176。，∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD∴∠BCE=∠DCF，在△BCE與△DCF中，∵∠BCE=∠DCF，BC=CD，∠CDF=∠EBC，∴△BCE≌△BCE（ASA），∴BE=DF.點睛：本題考查的是正方形的性質，熟知正方形的性質及全等三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．14．如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當點P在邊AD上移動時，求證：△PDH的周長是定值；（3）當BE+CF的長取最小值時，求AP的長．【答案】（1）證明見解析．（2）證明見解析．（3）2．【解析】試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB，證明△EFM≌△BPA，設AP=x，利用折疊的性質和勾股定理的知識用x表示出BE和CF，結合二次函數(shù)的性質求出最值．試題解析：（1）解：如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90176。，∴∠EPH∠EPB=∠EBC∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90176。，BP=BP，在△ABP和△QBP中，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90176。，BH=BH，在△BCH和△BQH中，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周長是定值．（3）解：如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．又∵EF為折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90176。，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90176。，在△EFM和△BPA中，∴△EFM≌△BPA（AAS）． ∴EM=AP．設AP=x在Rt△APE中，（4BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BEEM=2+x，∴BE+CF=x+4=（x2）2+3．當x=2時，BE+CF取最小值，∴AP=2．考點：幾何變換綜合題．15．（本題14分）小明在學習平行線相關知識時總結了如下結論：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短．小明應用這個結論進行了下列探索活動和問題解決．問題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，P為AC邊上的一動點，以PB，PA為邊構造□APBQ，求對角線PQ的最小值及PQ最小時的值．（1）在解決這個問題時，小明構造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為 ，當PQ最小時= _____ __；（2）小明對問題1做了簡單的變式思考．如圖3，P為AB邊上的一動點，延長PA到點E，使AE=nPA（n為大于0的常數(shù)）．以PE，PC為邊作□PCQE，試求對角線PQ長的最小值，并求PQ最小時的值；問題2：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如圖4，若為上任意一點，以，為邊作□．試求對角線長的最小值和PQ最小時的值．（2）若為上任意一點，延長到，使，再以，為邊作□．請直接寫出對角線長的最小值和PQ最小時的值．【答案】問題1：（1）3，；（2）PQ=，=．問題2：（1）=4，．（2）PQ的最小值為．．【解析】試題分析：問題1：（1）首先根據(jù)條件可證四邊形PCBQ是矩形，然后根據(jù)條件“四邊形APBQ是平行四邊形可得AP=QB=PC，從而可求的值．（2）由題可知：當QP⊥AC時，PQ最小．過點C作CD⊥AB于點D．此時四邊形CDPQ為矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，利用面積可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=ADAP=，所以AP=．所以=．問題2：（1）設對角線與相交于點．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由題可知：當QP⊥AB時，PQ最小，此時=CH=4，根據(jù)條件可證四邊形BPQH為矩形，從而QH=BP=AP．所以．（2）根據(jù)題意畫出圖形，當 AB時，的長最小，PQ的最小值為．．試題解析：問題1：（1）3，；（2）過點C作CD⊥AB于點D．由題意可知當PQ⊥AB時，PQ最短．所以此時四邊形CDPQ為矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因為∠BCA=90176。，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因為AE=nPA，所以PE==CQ=PD=ADAP=．所以AP=．所以=．問題2：（1）如圖2，設對角線與相交于點．所以G是DC的中點，作QHBC，交BC的延長線于H，因為AD//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由圖知，當 AB時，的長最小，即=CH=4．易得四邊形BPQH為矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若學生有能力從梯形中位線角度考慮，若正確即可評分．但講評時不作要求）（2）PQ的最小值為．．考點：1．直角三角形的性質；2．全等三角形的判定與性質；3．平行四邊形的性質；4矩形的判定與性質．